Теор.вер

Рис. 4.5

Рис. 4.6

Остаточно маємо:

0,

z 3;

1

2

12

z

3 ,

3 z 5;

F

z

1

z 5 , 5 z 6;

3

1

z 6 10 z , 6 z 8;

12

z 8.

1,

f z визначимо

Щільність

розподілу

ймовірностей

диференціюванням за z:

0, z 3,

z 8;

3

z

,

3 z 5;

6

f z 1

, 5 z 6;

3

8 z

,

6 z 8.

6

Графічно функції

f x ,

f y та

f z зображені на рис. 4.7.

0

1

2

3

4

5

6

7 8

x, y, z

4.16. Знайти закон розподілу

відношення

двох

незалежних нормально розподілених випадкових величин

та з

характеристиками M M 0,

1.

4.17. Випадкова точка з

координатами , розподілена

рівномірно у колі K x, y : x2

y 2

1 . Знайти закон розподілу

випадкової величини

.

4.18. Система незалежних випадкових величин , має

нормальний

закон

розподілу з

числовими

характеристиками

M M 0,

. Знайти

закон розподілу

випадкових

величин 1 ,

2

.

4.19. Скласти композицію двох рівномірних законів, які

мають щільності розподілів ймовірностей:

1,

x 0, 1 ;

1,

y 0, 1 ;

f 1 x

x 0, 1 ;

f 2 y

y 0, 1 .

0,

0,

4.20. Скласти композицію двох випадкових величин, одна з

яких розподілена за законом Коші

f

x

1

, x , а

1 x 2

1

y 0,

3 ;

інша має рівномірний закон розподілу f y

,

3

y 0,

3 .

0,

4.21.

Похибка

визначення

дальності

РЛС

розподілена

нормально

з

числовими характеристиками

M m,

, а

похибка

зчитування

оператором

значень

дальності зі шкали

щільністю розподілу ймовірностей

2 x y ,

0 x y 1;

f x, y

0,

в інших випадках.

Якщо

дискретна випадкова

величина

має

розподіл

P{ xk } pk , k=1,

2,...,

то числові характеристики випадкової

величини обчислюємо так:

M

( ) (xk ) pk ;

(4.5)

k 1

D ( ) [ (xk ) M ( )]2 pk

k 1

[ (xk )]2

pk [M ( )]2 .

(4.6)

k 1

Якщо

система

дискретних

випадкових

величин ( , )

розподілена

за законом

P{ xi , y j } pij ,

i, j 1,2,...., то

числові характеристики випадкової величини ,

знайдемо

за формулами:

M ( , ) (xi , y j )pij ;

i

j

D ( , ) [ (xi , y j ) M ( , )]2 pij

i

j

[ (xi , y j )]2 pij [M ( , )]2 .

i

j

Якщо неперервна випадкова величина

має

щільність

розподілу

ймовірностей

f (x) , то числові

характеристики

випадкової величини обчислюємо так:

щільність розподілу

ймовірностей f (x, y) , то

числові

характеристики випадкової величини , знайдемо так:

M ( , ) (x, y) f (x, y)dxdy ;

(4.7)

D ( , )

[ (x, y) M ( , )]2 f (x, y)dxdy

[ (x, y)]2 f (x, y)dxdy [M ( , )]2 .

(4.8)

дисперсію відстані центра плями до центра кола.

Розв’язання. Випадкова відстань r від центра кола до центра

плями записується через координати

( , )

випадкової точки так:

r

2 2

. Система випадкових величин ( , ) має рівномірний

розподіл. Отже,

1

2

y

2

R

2

f

,

x

;

(x, y) R2

2

y

2

R

2

0,

x

.

За формулою (4.7) обчислюємо:

1

1

2

R

2

x 2

y 2 dxdy

2 d

Mr

d

R .

2

R

2

R

x2 y2 R2

0

0

3

Дисперсію r знайдемо за формулою (4.8):

1

2

2

2

2

Dr

(x

y

)dxdy

R

R

2

x2 y2 R2

3

13 22

,

якщо 1

та

2 –

незалежні випадкові величини, які

мають ряди розподілів (табл. 4.12 і 4.13).

Таблиця 4.12

Таблиця 4.13

1

0

1

2

–1

0

1

р

0,4

0,6

р

0,2

0,5

0,3

4.33.

Незалежні

випадкові

величини

1

та

2

мають

розподіли ( табл. 4.14 і 4.15).

Таблиця 4.14

Таблиця 4.15

1

–1

0

1

2

2

1

2

3

4

р

0,1

0,3

0,4

0,2

р

0,3

0,4

0,2

0,1

Знайти

числові

характеристики випадкових

величин

1 1 2 , 2 1 2 ; 3 1 2 .

4.34.

Неперервна

випадкова

величина

розподілена за

2x, x (0,

1);

законом

f (x)

(0,

Знайти

числові

характеристики

0,

x

1).

0,5cos x,

x (

,

);

2

2

f (x)

0,

x (

,

).

2

2

4.37. Випадкова точка з координатами ( , ) розподілена

рівномірно

в колі K (x, y) :x2 y 2 1 . Знайти числові

характеристики випадкової величини .

4.38. Випадкові величини

та – незалежні. Випадкова

величина

розподілена за нормальним законом з параметрами

М 1,

2 , випадкова величина розподілена рівномірно на

математичними

сподіваннями

M ,

M,

M і

кореляційною

матрицею

D

K

K

K

D

K .

D

Знайти числові характеристики

випадкової

величини

u a b c d .

4.41. Дві точки з випадковими координатами

та

незалежно одна

від одної займають випадкове

положення

на