Теор.вер

Таблиця 3.7

Знайти закони розподілу випадкових компонент та та числові характеристики вектора , . Чи будуть величини та

незалежними?

3.2. У системі керування об’єктом є три блоки, які працюють незалежно. Надійність (імовірність безвідмовної роботи) блоків протягом деякого часу однакова і дорівнює 0,7. Розглядаємо систему випадкових величин , , де – кількість блоків, що

працюють; – кількість блоків, що відмовили. Скласти таблицю

Знайти центр розсіювання та скласти нормовану кореляційну матрицю системи , .

3.3. Два стрільці незалежно один від одного роблять по одному пострілу по мішені. Імовірність влучення в мішень для першого стрільця дорівнює 0,4, для другого – 0,7. Розглядаємо випадковий вектор , , де – кількість влучень першим

стрільцем, – кількість влучень другим стрільцем. Скласти таблицю розподілу системи , , знайти функцію розподілу цієї

3.4. Передають два повідомлення, кожне з яких може бути незалежно одне від одного спотворене. Імовірність того, що перше повідомлення буде спотворено, дорівнює p1 , а друге – p2 .

Скласти таблицю розподілу випадкового вектора , та

обчислити його числові характеристики. Чому випадкові величинита некорельовані?

3.8. Стріляють по деякій мішені до її знищення. Боєзапас – два снаряди. Імовірність влучення при кожному пострілі дорівнює 0,4. При першому влученні мішень вважається ураженою і стрільба закінчується. Скласти закон розподілу та знайти числові характеристики системи випадкових величин , , де –

кількість влучень в мішень, – характеризує стан мішені.

Група Б

3.9. Зробили три постріли по мішені. Імовірності влучення в мішень при кожному пострілі дорівнюють відповідно 0,5; 0,3; 0,2. Імовірність ураження мішені при одному влученні дорівнює 0,2; при двох – 0,4; при трьох – 0,6. Нехай випадкова величина –

кількість влучень у мішень, величина характеризує стан мішені. Скласти таблицю розподілу випадкового вектора , , функцію розподілу F (x, y) та знайти числові характеристики системи

випадкових величин , .

3.10. По кожній з двох мішеней виконують по одному пострілу. Імовірність влучення в мішень дорівнює 0,4; при влученні кожну з мішеней уражено з імовірністю 0,7. Нехай величина – загальна кількість влучень, кількість уражених

мішеней. Скласти закон розподілу системи випадкових величин, та обчислити числові характеристики системи.

3.11. Проводять чотири незалежних досліди, в кожному з яких може з’явитися подія А з імовірністю p. Розглянемо систему випадкових величин , , де величина – кількість появ події А,

величина – кількість появ протилежної події A . Скласти закон

розподілу та обчислити числові характеристики системи випадкових величин , .

3.12. Два спортсмени стріляють кожен по своїй мішені. Перший спортсмен робить три постріли з імовірністю влучення, яка дорівнює 0,5 при кожному пострілі, а другий – два постріли з імовірністю влучення, що дорівнює 0,7. Розглядаються випадкові величини: – кількість влучень першого спортсмена; –

кількість промахів другого спортсмена. Скласти таблицю розподілу випадкового вектора , та знайти функцію розподілу

F (x, y) . Знайти ймовірність події A 0,5 2,5; 0,5 2 .

Обчислити числові характеристики системи випадкових величин, . Чи будуть корельованими випадкові величини та ?

3.13. З урни, в якій знаходяться три білі, дві чорні та п’ять червоних куль, виймають одну кулю. Вводять випадкові величини, і , які набувають таких значень: 1, якщо витягли білу

кулю, і 0 , якщо не витягли білу кулю; 1, якщо витягли чорну кулю, і 0 , якщо не витягли чорну кулю; 1 , якщо витягли червону кулю, і 0 , якщо не витягли червону кулю. Скласти кореляційну матрицю і нормовану кореляційну матрицю системи випадкових величин , , та знайти центр розсіювання системи.

3.14. Система дискретних випадкових величин , задана таблицею розподілу (табл. 3.12).

Таблиця 3.12

Знайти умовний закон розподілу компоненти за умови, що компонента набуває значення три. Знайти умовне математичне сподівання компоненти за умови, що величина набуває значення одиниці.

3.15. Систему дискретних випадкових величин , задано таблицею розподілу (табл. 3.13).

3.2. Неперервні випадкові вектори, їхні закони розподілу та числові характеристики

Випадковий вектор 1 , 2 ,..., n , визначений на ймовірнісному просторі , f , P , називається неперервним випадковим вектором, або системою неперервних випадкових величин, якщо всі компоненти цього вектора i , i 1, 2, ..., n –

неперервні випадкові величини. Закон розподілу неперервного випадкового вектора найчастіше задається щільністю розподілу ймовірностей f x1,..., xn . При n = 2 маємо двовимірні неперервні

вектори або систему двох неперервних величин , . У цьому випадку щільність розподілу ймовірностей є невід’ємною функцією двох змінних f (x, y) . Вона визначається як границя

M yf (x, y)dxdy.

Дисперсії компонент необхідно обчислювати за формулами:

Кореляційний момент неперервного двовимірного випадкового вектора будемо обчислювати так:

Система двох неперервних випадкових величин має

рівномірний закон розподілу в області D на площині, якщо щільність розподілу ймовірностей цього вектора дорівнює:

де S D – площа області D.

Для системи двох неперервних випадкових величин умовний закон розподілу задається умовною щільністю розподілу:

Умовні математичні сподівання обчислюємо так:

називаються лініями регресії.

Приклади розв’язання задач

Задача 3.3. Система двох неперервних випадкових величин, має рівномірний розподіл у трикутнику D, обмеженому

F (x, y) f (x, y)dxdy 1.

D

Усі знайдені вирази зведемо в одну формулу:

Знайдемо одновимірну щільність розподілу випадкової величини за формулами (3.8):