Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4612 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Теор.вер

.pdf
Скачиваний:
387
Добавлен:
12.05.2015
Размер:
2.99 Mб
Скачать
☆

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

 

 

x

f (x, y)dy

2

 

 

 

 

 

1

 

,

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

a

 

Аналогічно

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ( y)

 

 

 

 

y

f (x, y)dx

2

 

 

 

 

 

1

 

,

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

a

 

x 0 ,

x a;

0 x a.

y 0,

y a;

0 y a.

Легко побачити, що f (x, y) f (x) f ( y). Це означає залежність випадкових величин та .

Знайдемо центр розсіювання системи випадкових величин, . Оскільки щільності розподілу ймовірностей компонент

відомі, то математичні сподівання M

та M краще обчислити за

формулою (2.7):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

 

 

x

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M xf (x)dx x

 

1

 

 

 

dx

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

a

 

 

a

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

Аналогічно

M

a

. Отже,

 

центр

розсіювання має

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

координати

 

 

;

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дисперсії компонент обчислюємо за формулою (2.9):

 

 

 

2

2

a

2

2

 

 

x

 

 

 

a

2

 

 

a

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D x

 

f (x)dx M

x

 

 

1

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

a

 

 

a

 

 

 

 

9

 

18

 

Аналогічно D a2 . 18

Кореляційний момент знайдемо за формулою (3.9):

 

a

a x 2 y

a2

a2

K

xdx

 

 

dy

 

 

 

.

a

2

9

36

 

0

0

 

 

 

 

Обчислимо коефіцієнт системи випадкових величин , кореляції:

r

K

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3.4. Система випадкових величин , має рівномірний розподіл у квадраті K x, y : x y 1 . Знайти

щільності розподілу ймовірностей окремих компонент цієї системи. Чи будуть випадкові величини та незалежними?

Записати умовні щільності розподілу ймовірностей цих випадкових величин.

Розв’язання. Площа квадрата К SK 2 (рис. 3.9).

 

y

 

 

y = x + 1

1

 

y = – x + 1

 

 

–1

0

1

x

y = – x – 1

 

 

y = x – 1

 

–1

 

 

Рис. 3.9

Записуємо щільність розподілу ймовірностей системи випадкових величин , за формулою (3.10):

 

1

 

x, y K;

 

 

,

 

f (x, y)

2

 

x, y K.

 

0,

 

 

 

 

Знаходимо щільності розподілу випадкових величин та за формулами (3.8):

 

1

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy 1 x,

0 x 1;

 

 

 

 

 

 

 

2 x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

 

 

dy 1 x,

1 x 0;

 

2

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1,

x 1.

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Або коротко:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x

 

,

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогічно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

y

 

,

 

 

 

 

y

 

1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

( y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже, законом розподілу окремих компонент випадкового вектора є закон Сімпсона. Із порівняння знайдених виразів видно, що f (x, y) f (x) f ( y) . Це означає, що випадкові величини тазалежні.

Знайдемо умовні щільності за формулами (3.11):

 

f (x, y)

 

 

1

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1

 

 

 

 

f (x / y)

 

 

y

 

f ( y)

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x, y)

 

 

1

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1

 

 

 

 

 

f ( y / x)

 

 

x

 

f (x)

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 1 x ;

y1 x ;

x 1 y ; x 1 y .

Із симетрії області К і рівномірності розподілу випливає, що M M 0 . Обчислимо кореляційний момент випадкових

величин та . За формулою (3.9)

 

 

 

1

 

K

 

xyf (x, y)dxdy

xydxdy 0.

 

 

 

 

2 K

Це означає, що випадкові величини та некорельовані.

Розглянута задача дає можливість зробити важливий висновок: з некорельованості випадкових величин ще не випливає їх незалежність.

Задачі

Група А

3.16. Знайти ймовірність влучення снаряда в мішень, яка має

форму, показану на рис. 3.10.

Відомо, що

функція розподілу

F (x, y) випадкової точки з координатами

, падіння снаряда

задана формулою

 

 

 

 

 

F (x, y) 1 e x e y e x y

,

0 x, y .

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

a1 a2

 

x

 

Рис. 3.10

 

 

Записати щільність розподілу ймовірностей системи випадкових величин , .

3.17. Щільність розподілу ймовірностей системи двох неперервних випадкових величин

 

A1 xy x2

y2 ,

x, y D

 

x

 

1,

 

y

 

1 ;

 

 

 

 

 

f (x, y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

x, y D.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знайти коефіцієнт А та числові характеристики системи

випадкових величин , .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.18.

Щільність

 

розподілу

ймовірностей

 

системи

неперервних випадкових величин

,

має вигляд:

 

 

 

f (x, y)

C(xy y2 ) ,

x, y D ;

 

 

 

 

0,

x, y D ,

 

 

 

 

 

 

 

 

де область

D x, y :

0 x 2 ,

0 y 2 . Знайти коефіцієнт С,

центр розсіювання системи випадкових величин та ймовірність події A , K , де K x, y : x y 2 .

3.19. Неперервний випадковий вектор ,

має щільність

розподілу

ймовірностей

f (x, y)

A

 

.

Знайти

 

 

1 x2 y2

2

коефіцієнт А. Визначити радіус кола з центром на початку координат, імовірність попадання в який дорівнює р.

3.20. Функція розподілу системи двох випадкових величин

, має вигляд: F (x, y) A(arctgx 2 )(2Ф( y) 12), де Ф( y) –

функція Лапласа. Знайти коефіцієнт А та функції розподілу компонент F (x) та F ( y) . Чи будуть випадкові величини та

незалежними?

3.21. Функція розподілу системи випадкових величин ,

дорівнює: F (x, y) A x y 2 e x y 2 x e x 2 y e y 2 ,

при x 0, y 0 . Знайти коефіцієнт А, щільність розподілу системи, та щільності розподілу компонент. Чи будуть випадкові величини та незалежними?

3.22. Щільність розподілу системи двох неперервних випадкових величин , має вигляд:

 

1

 

 

a,

 

b;

 

 

 

,

x

y

 

 

 

f (x, y)

4ab

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

x

a,

y

b,

0 a b.

 

 

 

 

 

 

 

 

Записати функцію розподілу системи випадкових величин та знайти ймовірність події A , K , де K – коло з центром на початку координат та радіусом r a.

3.23. Система двох випадкових величин , рівномірно

розподілена в трикутнику ОВС (рис. 3.11). Знайти закони розподілу компонент та числові характеристики системи.

y

 

 

 

1

 

 

 

0

1

2

x

 

Рис. 3.11

 

Чи будуть випадкові величини

та незалежними?

3.24. Задано щільність розподілу системи неперервних

випадкових величин , :

 

 

 

f (x, y)

A

 

 

.

 

1 x2 y2 x2 y2

 

Знайти коефіцієнт А, функцію розподілу системи, закони

розподілу компонент. Чи будуть випадкові величини

та

незалежними?

3.25. Задано щільність розподілу ймовірностей системи

неперервних випадкових величин:

 

 

 

 

 

 

 

0,5sin x y ,

x, y П;

 

f (x, y)

0,

 

(x, y) П,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де П (x, y) : 0

x

 

 

,

0 y

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

Записати функцію розподілу системи випадкових величин та обчислити числові характеристики системи.

3.26. Неперервні випадкові величини та незалежні, їхні щільності розподілу ймовірностей відповідно дорівнюють:

 

 

 

0,

 

x

 

2;

 

0,

y 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

(x)

1

 

 

 

 

 

 

 

f ( y)

 

 

 

 

,

 

 

x

2;

 

e y ,

y 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Назвати закони розподілу випадкових величин та . Записати функцію розподілу випадкового вектора , , обчислити

числові характеристики системи.

 

 

 

 

 

 

3.27. Випадкові величини

 

та незалежні й розподілені за

законом Коші:

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

f (x)

 

 

;

f ( y)

 

.

1 x 2

 

1 y 2

Яка ймовірність появи події A 0 1;

0 1,5 ?

Група Б

3.28. Система випадкових величин , має щільність

розподілу ймовірностей

f (x, y) .

Виразити через цю функцію

ймовірності подій:

B

 

 

 

;

C

 

 

 

;

 

A ;

 

 

 

 

 

 

D 1 .

 

 

 

 

3.29. Знайти центр розсіювання та кореляційну матрицю

системи неперервних випадкових величин

, , якщо щільність

розподілу ймовірностей

f (x, y)

2

 

.

 

 

x 2 y 2

1 3

3.30. Поверхня розподілу системи неперервних випадкових величин , , тобто графік щільності розподілу ймовірностей системи, є прямий коловий циліндр:

x 2 y 2

r 2 ;

 

0 z

h.

 

Визначити радіус циліндра, якщо h – відома величина. Записати щільність розподілу ймовірностей системи випадкових величин та щільності розподілу ймовірностей окремих компонент системи. Знайти числові характеристики системи випадкових величин , .

3.31.

Система

трьох

неперервних

випадкових

величин

, ,

розподілена рівномірно в області D (D –

паралелепіпед:

x a,

x b,

y c,

y d,

z l,

z k,

 

a b,

 

c d,

l k ).

Записати закон розподілу цієї системи випадкових величин,

закон розподілу підсистеми

,

та закон розподілу випадкової

величини .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.32. Випадковий вектор , , рівномірно розподілений в

області

D x, y, z : x2

y2 z2

r2

.

Яка

ймовірність події

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

2

 

 

 

A , , U , де

U

x, y, z : x2 y 2 z 2

 

 

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, ,

3.33.

Система

неперервних

випадкових

 

величин

рівномірно розподілена в циліндрі

x2

y2

r 2 ;

 

 

 

 

 

 

 

z

2h.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

Записати

закон розподілу

системи , , та

закони

розподілу її окремих компонент.

3.34. Система двох неперервних випадкових величин , має щільність розподілу ймовірностей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

e

x2

 

 

 

y2

 

 

 

(x, y)

 

 

 

e x2

e y2

 

 

 

2 e y2 e x2

.

f

 

2

2

2e

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знайти щільності розподілу окремих компонент, а також

умовні закони розподілу f

x / y ,

f y / x . Чи будуть випадкові

величини

та незалежними?

 

 

 

 

 

 

 

3.35. Випадкова величина має експоненціальний закон розподілу з параметром . Випадкова величина при заданому значенні x 0 розподілена також за експоненціальним законом з параметром x . Записати щільність розподілу ймовірностей системи випадкових величин , , знайти щільність розподілу ймовірностей f ( y) та умовну щільність розподілу f x / y .

3.3. Нормальний закон розподілу на площині

Нормальним законом розподілу на площині (законом Гаусса на площині) називають закон розподілу неперервного випадкового вектора , , щільність розподілу ймовірностей якого задано формулою

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

(x a)

2

 

2r(x a)( y b)

 

( y b)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x, y)

 

 

 

 

 

exp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

2(1 r

2

 

2

 

1 2

2

 

2

 

1 r2

 

 

2

 

 

 

)

1

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

цій

формулі M a , M b , D 2 , D 2 ,

r –

 

 

1

 

2

 

коефіцієнт кореляції компонент випадкового вектора

 

та

.

Якщо

та

– некорельовані випадкові величини

r

0 ,

то

f (x, y) набуває вигляду:

f (x, y) 1 2 1 2

 

1

 

x a 2

exp

 

 

 

 

 

 

2

 

12

 

 

 

 

y b 2

. (3.12)

2

2

Формулу (3.12) називають канонічним видом нормального закону. Якщо система випадкових величин , має канонічний

нормальний розподіл, то легко бачити, що f (x, y) f (x) f ( y) . Отже, з некорельованості нормально розподіленої системи

випадкових величин , випливає її незалежність. У разі, коли

r =0, функцію розподілу записуємо так:

 

 

x a

 

1

 

y b

 

1

 

 

 

F (x, y)

Ф

 

 

 

 

Ф

 

 

 

 

 

,

(3.13)

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де Ф(x) – функція Лапласа.

Лініями рівних імовірностей ( f (x, y) =const) будуть еліпси,

які називаються еліпсами розсіювання. Рівняння еліпсів розсіювання має вигляд:

 

(x a)2

 

2r x a y b

 

 

y b 2

2 .

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

2

 

Якщо r 0 , то рівняння еліпсів розсіювання буде таким:

 

 

 

x a 2

 

y b 2

2 .

(3.14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

1

а,b

2

 

 

 

 

Центр розсіювання

збігається з

центром еліпсів

розсіювання, осі симетрії еліпсів розсіювання називаються

головними осями розсіювання. Якщо r 0 , головні осі розсіювання паралельні координатним осям OX та OY. Імовірність попадання точки в еліпс розсіювання, рівняння якого (3.14), знаходимо так:

P , Е

 

1 e 2

2

,

(3.15)

 

 

 

 

 

де E – область, обмежена еліпсом.

Імовірність попадання нормально розподіленої випадкової точки з координатами , в прямокутник

П x, y : x ,

y

при

P

r 0 обчислюємо за формулою

, П

 

 

a

 

a

 

b

 

b

 

Ф

 

 

Ф

 

 

Ф

 

 

Ф

 

.

(3.16)

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности