(По индексам)

Во временном ряде кредитов (рис.9.12) видно два пика – максимальное значение индекса сезонности в январе месяце (106%) и в июле (105,9%). Минимальный объем выданных кредитов приходится на апрель месяц (91,4%).

Во временном ряде ценных бумаг (рис.9.13) отчетливо виден один максимальный пик, который приходится на июль месяц (126%), минимальное значение индекса сезонности приходится на ноябрь месяц (84%).

Наибольшей уровень сезонности наблюдается в выпущенных банком ценных бумагах, например, векселей, что объясняется состоянием повышенной потребности в денежных средствах клиентов банка летом, например торговых компаний. Заметим, что в ходе проведения операций с векселями коммерческие банки могут аккумулировать значительное количество векселей. Достоинством векселя является точно установленная ликвидность по срокам, вексельный портфель может явиться для банка надежной статьей его актива, более устойчивой, чем другие ценные бумаги.

Для каждого временного ряда были построены модели с аддитивной и мультипликативной связью между трендовой и сезонной составляющими:

I– обобщенная аддитивная модель;

II– обобщенная мультипликативная модель;

III– адаптивная модель Хольта-Уинтерса с аддитивными коэффициентами сезонности;

IV– адаптивная модель Хольта-Уинтерса с мультипликативными коэффициентами сезонности.

Таблица 9.6

Кредиты

№	Модель	Критерий серий	Крите-рий Дарбина-Уотсона	Значе-ние RS Крите-рия	Сред- няя ошибка аппрок-симации
I		Kmax=8 V=9	0,548	3,207	6,08
II		Kmax=6 V=8	0,569	4,03	3,91
III		Kmax=4 V=15	1,75	4,71	4,71
IV		Kmax=4 V=15	1,6	3,86	3,86

В таблицах 9.6-9.7 приводятся результаты оценки моделей на адекватность и точность. Проверка модели на адекватность исследуемому процессу проводилась на основе различных статистических критериев, основанных на анализе ряда остатков:

1. Проверка случайности уровней с помощью критерия «серий»;

2. Проверка независимости уровней с помощью критерия Дарбина-Уотсона;

3. Проверка соответствия нормальному закону распределения по RS- критерию.

Точность модели оценивалась по средней относительной ошибке аппроксимации, вычисленной для всего участка построения модели.

Для временного ряды «Кредиты» модели IиIIявляются неадекватными, не выполняются свойства случайности и независимости остатков. Адаптивные моделиIIIиIV(рис. 9.14 и 9.15) являются адекватными, модель с коэффициентами сезонности, имеющими мультипликативный характер, является более точной.

Рис.9.14. Адаптивная модель Хольта-Уинтерса с аддитивными

коэффициентами сезонности

Рис.9.15. Адаптивная модель Хольта-Уинтерса с мультипликативными

коэффициентами сезонности

Таблица 9.7

Ценные бумаги

№	Модель	Критерий серий	Крите-рий Дарбина-Уотсона	Значе-ние RS Крите-рия	Сред- няя ошибка аппрок-симации
I		Kmax=9 V=9	0,501	3,65	8,37
II		Kmax=10 V=10	0,45	3,62	9,48
III		Kmax=6 V=16	1,91	5,35	6,91
IV		Kmax=4 V=17	1,69	4,33	6,95

Для временного ряда «Ценных бумаг» модели IиIIявляются неадекватными, не выполняется свойство случайности и наблюдается автокорреляция остатков. Адаптивная модельIIIс коэффициентами сезонности аддитивного характера также является неадекватной, ряд остатков не соответствует нормальному закону распределения. Построить адекватную модель с аддитивными коэффициентами сезонности для временного ряда «Ценные бумаги» не удалось. Адаптивная модель с коэффициентами сезонности мультипликативного характера (рис. 9.16) является адекватной и показывает хорошее качество аппроксимации.

Рис.9.16. Адаптивная модель Хольта-Уинтерса с мультипликативными

сезонными коэффициентами

Таким образом, можно сделать вывод, что использование обобщенных аддитивной и мультипликативной моделей в данном случае не приводит к желаемому результату. Это объясняется тем, что представление сезонной составляющей дается по осредненной волне, в действительности же для сезонной волны характерно изменение во времени ее формы и размаха. Использование данных моделей для прогнозирования возможно только в случае, если сезонность носит постоянный характер.

Отметим, что в случае представления сезонной компоненты гармониками, следует учитывать, что чем больший период берется для представления функции, тем сильнее будет осреднена амплитуда колебаний. При эволюционном характере изменения сезонной волны, амплитуды, полученные по средней волне, будут менее соответствовать амплитудам будущего периода. В таком случае лучше брать небольшой период, предшествующий прогнозируемому.

Для отображения эволюционного характера изменения сезонной волны хорошие результаты дало применение адаптивных методов.

На основании проведенного анализа для каждого временного ряда выберем лучшие, с точки зрения качества, модели для прогнозирования. Для временного ряда «Кредиты» – модель IV, для временного ряда «Ценные бумаги» – модельIV.

Интервальное оценивание проведено с соответствии с алгоритмом, представленным на рис. 9.3 по формулам, учитывающим сезонную колеблемость уровней временного ряда. В таблицах 9.8-9.9 приведены результаты точечного и интервального прогноза показателей с вероятностью 70%.

Таблица 9.8

Кредиты

Вид модели	Упреждение	Прогноз	Нижняя граница	Верхняя граница
Модель IV	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	155995,737 152395,777 144957,341 137615,719 147757,251 153021,822 166556,271 163883,313 160835,044 164476,097 161927,508 174417,696	147408,1 143970,7 136907,9 1299938,7 139475,1 144402,1 157126,1 154555,6 151631,2 155011,5 152556,4 164264,8	165083,7 161313,9 153480 145746,3 156531,3 162156,1 176552,4 173774 170597,6 174518,6 171874,2 185198,1

Таблица 9.9

Ценные бумаги

Вид модели	Упреждение	Прогноз	Нижняя граница	Верхняя граница
Модель IV	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	33185,560 31661,920 29021,864 27798,385 29897,144 35206,248 37446,496 33758,656 29326,806 25719,799 22717,180 24842,608	2996,5 2871,1 2643,1 2543,0 2747,9 3251,5 3475,8 3149,7 2750,8 2425,5 2154,4 2369,6	3293,9 3157,5 2907,9 2799,1 3026,0 3582,4 3831,5 3473,8 3035,5 2678,1 2380,1 2619,4

В соответствии с полученными прогнозными оценками на периоде прогнозирования будет иметь место рост показателей с сезонными колебаниями уровней. В модели IV, построенной для временного ряда «Кредиты», ширина доверительного интервала находится в пределах от 5,5% до 6,1%. В моделиIV, построенной для временного ряда «Ценные бумаги», ширина доверительного интервала изменяется от 9% до 10,5%. Данный ряд характеризуется наиболее сильно выраженной сезонностью, максимум колебаний приходится на июль месяц. Ширина доверительного интервала для июля составляет 9,5%, она больше, чем у стоящих рядом уровней.

Модели многофакторного прогнозирования.

Прогнозирование по одномерному временному ряду, рассмотренное выше, не учитывает взаимодействие изучаемого процесса с другими экономическими явлениями, имеющими место в реальной действительности. Для учета причин, определяющих динамику развития процесса, перейдем к моделям многофакторного прогнозирования.

В построении таких моделей по временным рядам есть ряд особенностей. Если временные ряды содержат сезонные или циклические колебания, то перед проведением дальнейшего исследования взаимосвязи необходимо устранить сезонную или циклическую компоненту. Наличие данных компонент приводит к завышению истинных показателей силы и тесноты связи, если оба ряда содержат колебания одинаковой периодичности, либо к занижению этих показателей, если периодичность содержится только в одном ряду или если период колебаний различен.

Построение многофакторных моделей произведем на данных с квартальной периодичностью.

Так как исследуемые временные ряды содержат сезонную компоненту, то для их моделирования выберем регрессионную модель с сезонными фиктивными переменными, являющуюся аналогом аддитивной модели временного ряда. Сезонные фиктивные переменные будут дополнительно оценивать вклад причин, действующих на интервале наблюдения. Временная ограниченность базы данных вынуждает ограничиться количеством факторов, включаемых в модель регрессии, поэтому включим только один фактор.

Оцениваемая модель имеет следующий вид:

,

где - фиктивные переменные;

- их коэффициенты, отражают численную величину эффекта, вызванного сменой года. Количество фиктивных переменных в данной модели должно быть на единицу меньше числа моментов времени внутри одного цикла колебаний. Каждая фиктивная переменная отражает сезонную компоненту временного ряда для одного какого-то периода, в данном случае квартале. Она равна единице для данного периода и нулю для всех остальных периодов, например:

.

В набор факторов-кандидатов, оказывающих влияние на объем предоставляемых кредитов банком (Y), включим следующие:

1. Процентные ставки по кредитам(X1) (источник ЦБР);

2. Процентные ставки по межбанковским кредитам (X2) (источник ЦБР);

3. Помесячный объем выпуска продукции (X3) – источник: Госкомстат;

4. Объем привлеченных средств банком (X4).

Наибольшее влияние на объем предоставляемых кредитов оказывает объем привлеченных средств банков (таб. 9.10).

Таблица 9.10

Матрица парных корреляций

Переменная	Y	X1	X2	X3	X4
Y	1
X1	-0,875	1
X2	-0,687	0,665	1
X3	0,889	-0,927	-0,773	1
X4	0,962	-0,832	-0,642	0,898	1

Включение фактора времени позволило значительно улучшить модель. После оценки параметров модель примет вид (табл. 9.11).

Таблица 9.11

Оценка параметров регрессии для временного ряда «Кредиты»

Номер фактора	Коэффициент Регрессии	Стандартная ошибка коэффициента	T – значение
Св. член	42434,473	6124,604	6,929
Х4	0,366	5790,417	-1,426
D1	-8258,518	6146,917	-0,352
D2	-2161,553	6102,35	-1,560
D3	-9520,45	0,189	1,937
Т	5667,306	1208,672	4,689
Критерий Дарбина-Уотсона			1,624
Критерий серий			Kmax=4 V=7
RS – критерий			3,361
Множественный коэффициент корреляции			0,996
F-значение			618,711
Средний модуль ошибки			6,174%

Параметр а=42434,473 есть сумма начального уровня и сезонной компоненты в третьем квартале. Сезонные колебания в остальных кварталах приводят к снижению этой величины, о чем свидетельствуют отрицательные оценки параметров.

Параметры фиктивных переменных не равны значениям сезонной компонент, так как они характеризуют не сезонные изменения уровней ряда, а их отклонения от уровня в третьем квартале. Влияние сезонной компоненты не значимо в первом квартале, так как незначительно отклоняется по сравнению с третьим кварталом. Фактическое значение F-критерия равное 618,711 припревышает табличное (3,33), т.е. уравнение признается статистически значимым.

Независимость ряда остатков подтверждается сравнением r₁=0,128 с критическим значением при уровне значимости 0,05, модель является адекватной (рис.9.17).

Рис. 9.17. Модель регрессии с фиктивными сезонными коэффициентами

для временного ряда «Кредиты»

Для построения модели регрессии для показателя «Выпущенные банком ценные бумаги» в качестве факторов рассмотрим (таб. 9.12):

1. Индекс РТС (Х1) – источник: ЦБР, РТС;

2. Индексы промышленности (Х2) – источник: Госкомстат;

Таблица 9.12

Матрица парных корреляций

Переменная	Y	X1	X2
Y	1
X1	0,596	1
X2	0,781	0,710	1

Наибольшее влияние на выпуск ценных бумаг банком оказывает индекс промышленности. Для моделирования временного ряда применим фиктивные сезонные переменные. Большинство оценок коэффициентов регрессии выпуска ценных бумаг от индекса промышленности и фиктивных переменных оказались незначимыми. Построим регрессию от индекса РТС, включение фактора времени позволило значительно улучшить модель. После оценки уравнение регрессии примет вид (табл. 9.13):

Таблица 9.13.

Оценка параметров регрессии для временного ряда «Выпущенные

банком ценные бумаги»

Номер фактора	Коэффициент Регрессии	Стандартная ошибка коэффициента	T – значение
Св. член	10643,112	1818,704	5,852
Х1	-34,359	16,595	-2,07
D1	-939,029	1957,072	-0,48
D2	6301,061	1971,922	3,195
D3	-157,859	1857,772	-0,085
Т	2038,622	330,747	6,164
Критерий Дарбина-Уотсона			2,058
Критерий серий			Kmax=5 V=9
RS – критерий			3,745
Множественный коэффициент корреляции			0,992
F-значение			278,136
Средний модуль ошибки			8,4%

Независимость ряда остатков подтверждается сравнением r₁=0,064 с критическим значением при уровне значимости 0,05, модель является адекватной (рис. 9.18).

Фактическое значение F-критерия равное 278,136 припревышает табличное (3,33), т.е. уравнение признается статистически значимым. Параметра=10643,112 есть сумма начального уровня и сезонной компоненты в первом квартале. Сезонные колебания во втором и четвертом квартале приводят к снижению этой величины, о чем свидетельствуют отрицательные оценки параметров. В третьем квартале наблюдаем увеличение объема выпуска банком ценных бумаг по сравнению с первым кварталом.

Рис. 9.18. Модель регрессии с фиктивными сезонными переменными для

временного ряда «Выпущенные банком ценные бумаги»

Для получения прогнозных значений зависимых переменных подставим в уравнение ожидаемые значения факторов, полученные экстраполяцией.

В таблице 9.14 приведены результаты точечного и интервального (с вероятностью 70%) прогноза показателей по построенным моделям. Доверительные интервалы в многофакторных моделях зависят от стандартной ошибки, удаления прогнозного значения факторов от своего среднего значения, количества наблюдений и уровня значимости прогноза. Введение в модель фиктивных переменных способно отразить влияние сезонных изменений уровней, чем больше сезонный эффект, тем шире величина доверительного интервала.

Таблица 9.14

Моделируемый ряд	Упреждение	Прогноз	Нижняя граница	Верхняя граница
Кредиты	1 2 3 4	190983,859 194133,953 214400,609 217185,531	175555,504 177975,948 197159,744 198446,957	206412,215 210251,958 231,641,474 235924,105
Ценные бумаги	1 2 3 4	33594,82 34007,238 42596,773 37628,738	28924,035 29394,76 37980,995 32772,741	38265,606 38619,717 47216,552 42484,736

Интервальные прогнозы дают ценную информацию о развитии изучаемых систем, и полезны как для краткосрочного, так и анализа долгосрочных тенденций.

При построении многофакторных моделей существенно расширяется набор необходимых для этого данных, что не всегда осуществимо. Поэтому на практике прогнозирование по одномерному временному ряду часто оказывается единственно приемлемым способом расчета прогнозных вариантов с позиций информационной обеспеченности и требуемой надежности.