- •Анализ и прогнозирование финансовых процессов
- •Глава 1. Математические методы и модели как средства исследования экономических процессов ………………………………………………………….7
- •Глава 8. Построение доверительных интервалов прогнозов ………………….210
- •Глава 9. Анализ и прогнозирование финансовых процессов на базе рассмотренных моделей ………………………………………………………….232
- •Предисловие
- •Глава 1. Математические методы и модели как средства исследования экономических процессов
- •1.1. Экономико-математические методы и модели исследования экономических процессов
- •1.2. Разновидности экономико-математических моделей и методов
- •1.3. Программные средства анализа экономических данных
- •1.4. Методика статистического анализа и прогнозирования данных
- •Контрольные вопросы
- •Глава 2. Исследование структуры временных рядов экономических показателей
- •2.1. Понятие временного ряда
- •В таблице 2.4 представлен ряд динамики средних величин - Среднедушевые номинальные денежные доходы населения России в месяц,
- •2.2. Структура временного ряда
- •2.3. Оценивание однородности и направленности изменений финансовых процессов, представленными временными рядами
- •2.4. Статистические показатели измерения динамики финансовых процессов
- •2.5. Показатели и критерии устойчивости и колеблемости развития финансовых процессов
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 3. Прогнозирование финансовых процессов с использованием кривых роста
- •3.1. Основные этапы прогнозирования с использованием кривых роста
- •3.2. Характеристика кривых роста
- •3.3. Методы выбора кривых роста для выравнивания
- •3.4. Методы оценки параметров кривых роста
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 4. Сезонные колебания в финансовых процессах
- •4.1. Исследование сезонных колебаний в финансовых процессах
- •4.2. Статистические критерии выявления сезонных колебаний
- •4.3 Показатели измерения сезонности
- •4.4. Моделирование тренд-сезонных временных рядов
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 5. Адаптивные методы прогнозирования
- •5.1. Сущность адаптивных методов
- •5.2. Экспоненциальное сглаживание
- •5.3. Полиномиальные адаптивные модели
- •5.4. Адаптивные модели прогнозирования сезонных процессов
- •5.5. Метод эволюции
- •5.6. Модели авторегрессии и скользящего среднего
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 6. Оценка точности и адекватности модели
- •6.1. Оценка адекватности модели
- •Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю.
- •6.2. Оценка точности модели
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 7. Применение регрессионных моделей для прогнозирования
- •7.1.Типы регрессионных моделей
- •7.2. Определение зависимости между моделируемыми показателями и определяющими их факторами
- •7.3. Оценка тесноты линейной и нелинейной связи
- •7.4. Линейная модель парной регрессии. Оценка значимости параметров линейной регрессии
- •7.5. Нелинейная регрессия
- •Полиномы разных степеней -;
- •7.6. Модель множественной регрессии
- •7.7. Отбор факторов при построении модели множественной регрессии. Мультиколлинеарность
- •7.8. Регрессионные модели с фиктивными переменными
- •7.9. Прогнозирование в регрессионных моделях
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 8. Построение доверительных интервалов прогнозов
- •8.1. Методы и критерии, используемых при построении доверительных интервалов
- •8.2. Доверительные интервалы при получении оценок по моделям регрессии
- •8.3.Оценка доверительных интервалов в моделях экономического прогнозирования
- •Доверительный интервал для тренда в общем виде определяется как
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 9. Анализ и прогнозирование финансовых процессов на базе рассмотренных моделей
- •9.1. Алгоритм методики оценивания доверительных интервалов прогнозов
- •9.2. Практическая реализация методов прогнозирования
- •(По индексам)
- •Контрольные вопросы и задания
- •Литература
- •Шелобаев Сергей Иванович
Глава 8. Построение доверительных интервалов прогнозов
8.1. Методы и критерии, используемых при построении доверительных интервалов
При моделировании экономических процессов наибольший интерес представляет возможность предсказания будущего развития процесса. Но, как известно, экономические процессы обычно являются стохастическими, поэтому указание их точечных значений лишено содержания, т.к. вероятность того, что прогнозируемый показатель в заданный момент времени будет равен значению, определяемому точечным прогнозом, практически равна нулю. Следовательно, в дополнение к точечному прогнозу необходимо дать возможные границы изменения прогнозируемого показателя – доверительные интервалы.
Доверительные интервалы учитывают неопределенность, связанную с ограниченным числом наблюдений, их возможностью отклонения от тренда, сохранением тенденции тренда.
Перед тем как перейти к оцениванию доверительных интервалов различных моделей, рассмотрим некоторые аспекты статистического оценивания параметров.
Имеются два важных типа параметрических оценок: точечные оценки и интервальные оценки. При точечном оценивании оценкой для истинного значения 0 параметра вслужит наблюдаемая величина, функция элементов выборки, распределение которой в некотором смысле концентрируется вокруг истинного значения0 параметра. Дисперсия точечной оценки часто дает разумный критерий для измерения ее концентрации.
При интервальном оценивании строятся две наблюдаемые случайные величины и, где, такие, что с заданной вероятностью случайный интервалсодержит истинное значение0 и является в некотором смысле кратчайшим.
Интервальная оценка позволяет установить точность и надежность точечных оценок. Предположим, что найденная по некоторой выборке характеристика *служит оценкой неизвестного параметра. Ясно, что чем меньше абсолютная величина разности, тем точнее*определяет параметр. Другими словами, еслии, то чем меньше, тем оценка точнее.
Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка *удовлетворяет неравенству, можно лишь говорить о вероятности, с которой это неравенство осуществляется.
Надежностью (доверительной вероятность) оценки по*называется вероятность р, с которой осуществляется неравенство.
В статистической практике разработано два основных подхода к определению интервальных оценок. При байесовском подходе, основанном на теореме Байеса, рассматривается вероятностное распределение величины р(,х) и за меру правдоподобия интервала принимается апостериорная вероятность того, что значение случайной величины попадает в этот интервал.
Желательно было найти подход, который не требовал определения априорной вероятности оцениваемой величины. Проблема была пересмотрена с совершенно иных точек зрения Ю. Нейманом, исходя из идей Р. Фишера.
При предложенном подходе, основанном на понятии доверительного интервала, рассматриваются интервалы со случайными граничными точками, обладающие свойством, выраженном в терминах распределения : вероятность того, что интервалсодержит равняется 1- для заданного подходящим образом .
Доверительным интервалом параметра распределения случайной величины Х с уровнем доверия 100р%, порожденным выборкой , называется интервал с границамии, которые являются реализациями случайных величини, таких, что.
Граничные точки доверительного интервала иназываются доверительными пределами. Интерпретация доверительного интервала, основанная на интуиции, будет следующей, еслир велико (скажем 0,95), то доверительный интервал почти наверняка содержит истинное значение .
Теория доверительных интервалов для одного параметра достаточно развита. Определения и понятия интервального оценивания можно перенести на вектор =(1,2,…,k)с заменой доверительного интервала доверительной областью вk-мерном пространстве. Доверительной областью векторагенеральной совокупности является область, полностью определяемая результатами наблюдений, которая с близкой к единице доверительной вероятностью=1-содержит неизвестное значение вектора. Очевидно, что существует бесконечное множество доверительных областей, соответствующих одному и тому же значению (1-). Как правило, стараются определить доверительные области, имеющие минимальные размеры при данной вероятности (1-).
Основную трудность в построении доверительной области представляет определение законов распределений подходящих статистик. В настоящее время эти вопросы достаточно хорошо разработаны только для нормального распределения наблюдаемых случайных величин.
В большинстве случаев, в том числе и при изучении экономических проблем, оказалось, что многомерное статистическое распределение является хорошим приближением к действительному распределению и статистические анализы, основанные на модели нормального распределения, вполне оправданы.
Для одномерного случая основой для выбора критерия или доверительного интервала является тот факт, что разность между средними значениями выборки и генеральной совокупности распределена нормально с известными математическим ожиданием и дисперсией. В математической статистике показано, что для независимых случайных величин х1,..,хn, распределенных по нормальному закону N(, 2), величина имеетt-распределение c n-1 степенями свободы. Доверительный интервал определяется из формулы
. (8.1)
Условие, в силу которого значение t с вероятностью (1-) попадет в соответствующий интервал запишется как:
,
где . Заменивt на выражение из (8.1), получим:
.
Разрешив неравенство относительно , вероятностное отношение перепишем в виде:
,
то есть доверительным интервалом с вероятностью (1-)длябудет:
.
Равенство (8.1) можно переписать в виде:
. (8.2)
Полученное равенство обобщается на случай многомерной совокупности. Разработаны методы, позволяющие с помощью достаточно простых вычислений строить доверительные интервалы для многомерного распределения. Эти методы основаны на следующей теореме.
Теорема. Если m-мерный векторTраспределенN(0,T)(невырожденное распределение), тоимеет2распределение сmстепенями свободы.
Бозе Р. расширил данную теорему на случай совокупности N(,).
Рассмотрим k-мерное нормальное распределение N(,) с вектором средних и ковариационной матрицей . В многомерном случае используется тот факт, что разность между векторами среднего значения выборки и среднего значения генеральной сопокупности распределена нормально с вектором среднего значения и известной ковариационной матрицей. На случай k-мерной совокупности равенство (8.2) обобщается следующим образом:
. (8.3)
Статистика t2 при k=1 имеет 2 распределение с числом степеней свободы =1. Статистика t2 для любого k также имеет 2-распределение с числом степеней свободы =k. Таким образом, с вероятностью можно утверждать, что вектор накрывается доверительной областью, задаваемой неравенством:
, (8.4)
где – ковариационная матрица, в случае если ковариационная матрица не известна, используется ее несмещенная оценка . Доверительной областью вk-мерном пространстве будет эллипсоид (эллипс при k=2) с центром .
Хоттелинг ввел Т2 - статистику, которая является многомерным аналогом квадрата величины t-распределения Стьюдента. Статистика Т2 представляет собой просто геометрическое место точек эллипсоида доверительной области. Она выражается через объем выборки, выборочные средние и выборочную ковариационную матрицу:
,
Совокупность точек, координаты которых удовлетворяют неравенству:
образуют в k-мерном пространстве внутренность и границу эллипсоида с центром в точке , размеры и форма которого зависят оти.
Величину Т2 можно связать с распределением F соотношением:
,
где F имеет k и n-k степени свободы. Учитывая это, Т2 можно записать следующим образом:
. (8.5)
Как показано дальше, использование Т2 - статистики Хоттелинга расширяет области построения совместных доверительных интервалов.