Контрольные вопросы и задания

1. Какие виды статистических оценок параметров существуют?

2. Какие основные подходы к интервальному оцениванию параметров разработаны в статистической практике?

3. В таблице приведены данные о выручке от реализации продукции предприятием, в тыс. руб.:

Период	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Выручка от реализации продукции тыс.руб.	456	476	566	522	662	687	702	743	721	752	784	767

На основе имеющихся данных построена модель:

.

а) Построить точечный прогноз на два шага вперед.

б) Построить интервальный прогноз на тот же период при достоверности прогноза 80%.

в) Результаты прогнозирования изобразить на графике.

Глава 9. Анализ и прогнозирование финансовых процессов на базе рассмотренных моделей

9.1. Алгоритм методики оценивания доверительных интервалов прогнозов

Анализ моделей и программных средств, предназначенных для прогнозирования тренд-сезонных экономических процессов, показало, что на начальных этапах исследования возможно использование для обработки временных рядов стандартных программ («СтатЭксперт», «Эвриста» и др.).

В тоже время реализуемые в стандартных программах методы в большинстве случаев не предоставляют возможности построения интервального прогноза. Если даже интервальный прогноз и формируется (например, «СтатЭксперт»), то колеблемость сезонной компоненты доверительным интервалом прогноза не учитывается. Анализ показал, что точность прогнозных оценок в значительной степени зависит от выбранного метода прогнозирования и различие между моделями становится более существенным именно при получении интервальных оценок. Поэтому практика прогнозирования требует не только разработки более перспективных и точных методик оценивания доверительных интервалов, но и алгоритмов и программных средств их реализующих.

На рис. 9.1. представлена укрупненная блок-схема методики. Алгоритм представляет собой совокупность процедур, используемых для определения статистических свойств исследуемого экономического процесса, выявления наиболее перспективных методов прогнозирования и получения прогноза в виде доверительного интервала.

Предварительный анализ временного ряда (блок 1) предполагает анализ аномальных явлений и графическое изображение ряда. Анализ графика позволяет выдвинуть гипотезу о наличии внутригодичных изменений уровня, выделить период колебаний. Так как данные выводы в значительной степени субъективны, то для подтверждения сделанных предположений необходимо применить формализованные методы.

Сглаживание ряда с помощью центрированной скользящей средней (пяти или тринадцати членной) и выделение из исходного ряда сезонной компоненты дает возможность отобразить на графике компоненты ряда. Анализ графика сезонной компоненты позволяет сделать предположение о связи компонент временного ряда (аддитивной или мультипликативной). Методы предварительного анализа временных рядов реализованы в пакетах «СтатЭксперт» и «Эвриста», а методы сезонного сглаживания в «SPSS» и «Эвриста».

Анализ компонентного состава временного ряда проводят для установления наличия во временном ряду тренда и сезонной составляющей. Определение тренда необходимо не только для дальнейшей процедуры фильтрации временного ряда, но и важно с той позиции, что критерии, предназначенные для определения наличия сезонной компоненты во временном ряду, предполагают отсутствие трендовой компоненты.

Для выяснения наличия тенденции (блок 2) обычно используются методы проверки разностей средних уровней и метод Фостера-Стьюарта. Проверку наличия тенденции этими методами можно осуществить используя статистический пакет программ для ПЭВМ «СтатЭксперт».

Определение минимальной степени полинома (блок 3), адекватно аппроксимирующей тренд, можно осуществить с помощью метода последовательных разностей Тинтнера. Необходимо отметить, что выбрать наилучший аппроксимирующий полином можно и с помощью стандартных статистических пакетов на основе сравнения критериев точности и адекватности построенных моделей. Все статистические пакеты строят модели полиномов, и в них предусмотрена возможность сохранения остатков для дальнейшего анализа. В пакете СтатЭксперт предусмотрен алгоритм выбора лучшей модели.

После исключения тренда из исходного ряда (блок 4), осуществляется проверка гипотезы о наличии в исходном временном ряду сезонных колебаний (блок 5). Ряд остатков проверяется на случайность с помощью одного из альтернативных критериев – дисперсионного, гармонического или критерия, основанного на сравнении распределения коэффициента автокорреляции с распределением циклического коэффициента автокорреляции.

Алгоритм дисперсионного критерия не реализован ни в одном статистическом пакете, но во всех пакетах предусмотрена возможность проведения гармонического анализа. Анализ сезонности значительно облегчается при использовании аппарата гармонического анализа, реализованного в статистическом пакете СтатЭксперт. В таблице для каждой гармоники отражаются: мощность, коэффициенты, частота, период, значение F-критерия и вывод о значимости гармоники. По выбранным значимым гармоникам вычисляются расчетные значения исследуемого ряда. Также все пакеты имеют процедуру, позволяющую вычислять коэффициенты автокорреляции. Например, в пакетах «СтатЭксперт» и «Эвриста» эта процедура реализована в методах предварительного анализа временных рядов.

Для того, чтобы провести анализ сезонности необходимо произвести выделение компонент временного ряда или фильтрацию (блок 7). Следующий этап алгоритма - это фильтрация компонент временного ряда. В большинстве методов фильтрации предварительно выделяется тренд, а затем сезонная компонента.

В настоящее время развиваются три направления фильтрации компонент временного ряда с аддитивной связью между компонентами: регрессионные, итерационные и спектральные. Достоинством регрессионных методов в том, что они позволяют получить аналитические выражения функций, аппроксимирующих тренд и сезонную компоненты. Обычно тренд аппроксимируют полиномом, а сезонную компоненту отрезком ряда Фурье. В дальнейшем полученные функции можно использовать для прогнозирования как отдельных компонент временного ряда, так и временного ряда в целом. Все пакеты позволяют реализовать регрессионный метод фильтрации компонент временного ряда.

Итерационные методы появились в свое время как результат признания факта невозможности выделения компонент ряда аналитически. Эти методы отличает удовлетворительная фильтрация компонент ряда и простота реализации. Основной недостаток этих методов – это потеря части информации на концах ряда и невозможность получения аналитического выражения тренда и сезонной компоненты для дальнейшего прогнозирования.

Спектральные методы фильтрации представлены практически во всех статистических пакетах. Фильтрация может осуществляться при помощи низкочастотного фильтра, который предназначен для удаления тренда из исходного ряда и выделения периодической компоненты, а также и высокочастотного фильтра, который предназначен для выделения тренда из исходного ряда.

В блоке 8 схемы алгоритма проводится анализ сезонности с помощью показателей измерения сезонности. Для оценки уровня сезонности обычно используют индексы сезонности. Более углубленный анализ сезонности можно провести с помощью коэффициентов сезонности, напряженности и роста, дающих адекватное представление об относительной колеблемости уровней временного ряда в течение года и темпах развития сезонной волны. Процедура анализа сезонности с помощью индексов реализована в пакетах «SPSS» и «Эвриста».

Если имеются временные ряды не только с прогнозируемыми показателями, но и показателями-факторами, то можно провести исследование факторов, определяющих сезонные колебания (блок 10). Для выяснения данного обстоятельства следует использовать методы корреляционного и спектрального анализа. Данные методы, кроме того, позволяют определить, с какой задержкой динамика процессов скажется на будущем развитии процессов.

Корреляционный анализ является средством выявления доминирующих корреляций, их лагов и периодичностей между процессами. Высокое значение корреляции служит индикатором причинно-следственных связей между процессами, а величина лага указывает временную задержку в передаче взаимодействия. Кроме того, с помощью корреляционного анализа производится отбор факторов, оказывающих наиболее существенное влияние на результативный признак, на основании измерения степени связи между ними. Для выявления зависимости между двумя процессами определяются коэффициенты парной корреляции и проверяется их значимость по t-критерию Стьюдента.

В многомерном случае можно определить тесноту связи между величинами при фиксировании или исключении влияния остальных k-величин и тесноты связи одной случайной величины с совокупностью остальных величин, включенных в анализ с помощью коэффициентов частной и множественной корреляции соответственно. Как правило, во всех стандартных программах статистического анализа данных присутствует корреляционный и спектральный анализ.

В программе «СтатЭксперт» в режиме «Корреляционного анализа» определяются парные коэффициенты корреляции, оптимальные лаги корреляции, парные корреляции на оптимальных лагах, частные коэффициенты корреляции, множественные коэффициенты корреляции. В таблицах парных и частных коэффициентов красным цветом выделяются незначимые коэффициенты, значение которых по абсолютной величине меньше порогового уровня. который вычисляется исходя из заданного пользователем уровня отбора. Таблица «Оптимальные лаги корреляции» содержит оценку лага, при котором связь между переменными максимальная. Таблица «Парные корреляции на оптимальных лагах» будет отличаться от таблицы парных корреляций, если между хотя бы одной из пар переменных оптимальный лаг больше нуля. Анализ данных таблиц важен при отборе значимых факторов и построении регрессионных моделей.

В блоке моделирования тренд-сезонного процесса (блок 11) предусмотрено моделирование по двум ветвям в зависимости от имеющейся информации об изучаемом процессе. Если имеются ряды-факторы, то целесообразно построение многофакторной модели. Данный шаг алгоритма более подробно описан на рисунке 9.2. Отметим, что в стандартных программах не реализован алгоритм построения моделей, представляющий тренд-сезонный процесс аддитивной моделью «тренд-гармоники» и мультипликативной моделью «тренд-индексы сезонности». Можно получить модель только для отдельной компоненты.

Адаптивные методы прогнозирования представлены почти во всех пакетах. Текстовая форма выдачи результатов выполнения процедур не содержит информации о всех сезонных компонентах, и поэтому не позволит построить доверительный интервал прогноза, учитывающий неоднородность колебаний сезонной компоненты. Из многомерных методов во всех пакетах реализованы модели парной и множественной регрессии.

При прогнозировании по одномерному ряду необходимо решить вопрос о форме связи между трендовой и сезонной составляющей. Для этого необходимо исследовать характер связи между трендом и сезонной волной. Если амплитуда сезонной волны стабильна, то предполагают аддитивную связь. Если же изменения сезонной волны пропорциональны изменениям тренда, то связь предполагается мультипликативной. Выбрать тип модели можно используя графические средства стандартных программ, в том числе и процессора EXEL. Правильность выбора типа модели можно подтвердить на основе сравнения дисперсии ошибок аддитивной и мультипликативной моделей. Модель, давшая минимальное значение дисперсии, может использоваться для дальнейшего прогнозирования (блок 13).

Проверка модели на адекватность (блок 12) выполняется с помощью различных статистических критериев, основанных на анализе остаточной компоненты. Если модель выбрана правильно, то для ряда остатков характерны: случайный характер значений, отсутствие автокорреляции и нормальный закон распределения. Модель, удовлетворяющая всем перечисленным свойствам, может быть использована для прогнозирования. Как правило, во всех стандартных пакетах, по результатам построения модели проводится анализ остатков с выдачей статистики Дарбина-Уотсона, и имеются процедуры, позволяющие проводить отдельные тесты (тесты на случайность, вычисление автокорреляционной функции в пакетах «Эвриста», «SPSS», «СтатЭксперт»).

В случае если несколько моделей, полученных при реализации разных методов, являются адекватными изучаемому процессу, то можно или выбрать лучшую из них, или построить на их основе обобщающий прогноз. Выбор лучшей модели обычно осуществляется на основе одного какого-то показателя, выбранного в качестве критерия (таким показателем является величина дисперсии остаточной компоненты) или на основе некоторого синтетического критерия, учитывающего различные свойства построенной модели (например, на основе стандартной ошибки, средней относительной ошибки, максимальной ошибки, коэффициента детерминации и другие). Выбор лучшей модели на основе обобщенного критерия качества построение обобщенного прогноза предусмотрен только в пакете «СтатЭксперт».

На основе выбранной модели или моделей разрабатывается точечный прогноз (блок 14). Далее, исходя из заданного уровня вероятности ожидания появления значения прогнозируемого показателя, оценивается доверительный интервал прогноза (блок 15).

На рисунке 9.3 дан подробный алгоритм расчета доверительных интервалов при прогнозировании по одномерному временному ряду и многомерным временным рядам с использованием формул, учитывающих сезонный характер процесса. Доверительный интервал прогноза определяется в пакетах «СтатЭксперт», «STADIA», в «Эвриста» и «SPSS» только для отдельных моделей. Как уже отмечалось, в данных интервальных прогнозах не учитывается неоднородность сезонных колебаний уровней ряда. Предлагаемая методика устраняет этот существенный недостаток и позволяет повысить точность прогноза. Набор моделей, предназначенных для прогнозирования тренд-сезонных процессов, представлен достаточно полно и позволяет отразить различные закономерности протекания прогнозируемого процесса.

Заключительный блок – это принятие решения на основе прогнозной информации (блок 16).

Предлагаемая методика дает возможность работать с уже имеющимися программными продуктами исследования и прогнозирования временных рядов.

s_ii – i-й элемент матрицы S_vv

Моделирование интервальной оценки прогноза

Обобщенная

аддитивная модель

Адаптивная модель

Определение дисперсии тренда и дисперсии сезонной компоненты

Аддитивная модель

Мультипликативная модель

Переход логарифмированием к аддитивной модели

Определение логарифма точечного прогноза

Определение дисперсии тренда и дисперсии сезонной компоненты в логарифмах

Обратное преобразование доверительного интервала

antlog C

Модель множественной регрессии

Система взаимосвязанных уравнений

Обобщенная мультипликативная

модель

Адаптивная модель

По одномерному временному ряду

По многомерному временному ряду

Рис.9.3. Моделирование интервальной оценки прогноза