5.3. Полиномиальные адаптивные модели

Если тенденция исследуемого процесса близка к линейной, то для анализа и прогнозирования такого процесса используются модели линейного роста. Прогнозные оценки по таким моделям на τ шагов вперед получают по уравнению:

,

где - текущие оценки коэффициентов адаптивного полинома первого порядка, подлежащие определению.

В двухпараметрической модели Хольта оценка коэффициентов производится следующим образом:

;

, (5.4)

- параметры экспоненциального сглаживания, называемые также параметрами адаптации, для которых должно выполняться условие .

Обозначим через ошибку прогноза, т.е. отклонение прогнозный оценки, полученной в момент(t-1), на один шаг вперед(τ=1)от фактического уровня ряда. Тогда уравнения (5.4) можно переписать в следующем виде:

;

.

Напомним, что через обозначается прогноз, сделанный в моментt наτшагов вперед, т.е. в данном случае через обозначен прогноз, произведенный в момент(t-1)на один шаг вперед.

Частным случаем модели Хольта является модель линейного ряда Брауна:

;

,

Здесь β – параметр дисконтирования(0<β<1), характеризующий уменьшение веса данных наблюдения за единицу времени.

Введение дополнительного члена в модель, учитывающего разность ошибок прогнозирования, не привело к ее значительному улучшению, и она не получила широкого распространения.

Понятие экспоненциальной средней можно обобщить на случай экспоненциальных средних более высоких порядков. Выравнивание р-го порядка по формуле

,

является простым экспоненциальным сглаживанием, примененным к результатам сглаживания (р-1)-го порядка. В общем случае принимается гипотеза, что исследуемый процесс, состоящий из детерминированной и случайной компоненты, может быть описан полиномомq-го порядка, а прогноз наτшагов вперед осуществляется по формуле

,

где - параметры, подлежащие определению.

В фундаментальной теореме метода экспоненциального сглаживания утверждается, что (q+1)неизвестных коэффициентов полиномаq-го порядка могут быть оценены с помощью линейных комбинаций(q+1)значений , . Следовательно, задача в данном случае сводится к вычислению значений функций сглаживания и через их линейные комбинации – к определению коэффициентов полинома.

В практических расчетах обычно используются полиномы не выше второго порядка. В таблице 5.1. приведены соответствующие формулы расчета по этим моделям.

Таблица 5.1.

Рекуррентные формулы для расчета параметров адаптивных полиномиальных моделей

Степень полино-миаль-ной модели	Экспоненциаль-ные средние	Начальные условия	Оценки коэффициентов	Прогнозная модель
0
1
2

Процедура построения прогнозной модели методом экспоненциального сглаживания сравнительна проста. Определив одним из возможных способов параметр сглаживания αи начальные условияпо соответствующим формулам, приведенным в таблице 5.1., рассчитывают экспоненциальные средние, коэффициенты моделии прогноз наτшагов вперед. Ошибки прогнозов, вычисленные на каждом шаге процедуры, накапливаются для дальнейшей оценки точности прогноза. Окончательная прогнозная модель формируется на последнем шаге вычислений приt=nпо последним значениям коэффициентов. Подставляя в нее заданное время упреждения прогнозаτ, получают результат прогнозирования. При поступлении новой информации, приняв в качестве начальных условий последние значения функции сглаживанияможно продолжать дальнейшее сглаживание.

Необходимые для расчета начальные условия в случае отсутствия априорной информации о характере исследуемого процесса могут быть получены путем оценивания параметров кривой роста , построенной по нескольким первым точкам ряда. Использование же в качестве начальных условий только первого уровня ряда нежелательно ввиду возможной его вариации, которая при малом объеме выборке может значительно исказить прогнозные расчеты.

Одним из наиболее сложных моментов использования метода экспоненциального сглаживания является выбор величины параметра сглаживания α. С одной стороны, повышение скорости реакции модели на резкое изменение процесса, увеличение веса более «свежих» наблюдений может быть достигнуто при выборе больших значенийα. С другой стороны, стремление лучше сгладить случайные отклонений и обеспечить устойчивость модели к кратковременным разовым изменениям процесса диктует необходимость уменьшений α. Автор метода экспоненциального сглаживания Р. Браун предложил следующую формулу расчетаα:

,

где m– число уровней, входящих в интервал сглаживания. В качестве удовлетворительного практического компромисса он рекомендовал братьαв пределах от 0,01 до 0,3. Однако ряд исследований показал, что наилучшим параметром сглаживания может бытьα>0,3. Следует отметить, что близость величины параметра сглаживания к единице является симптомом неправильного выбора структуры модели, хотя при краткосрочном прогнозировании выбор больших значенийα, позволяющих учитывать ценность более «свежих» данных, вполне оправдана.

Поэтому величину m, как и непосредственно параметрα, лучше определять эмпирическим путем. Поиск оптимальных значений параметра сглаживания для адаптивных полиномиальных моделей может также осуществляться путем перебора его различных значений. В этом случае в качестве оптимального выбирается то значениеα, при котором получена наименьшая дисперсия ошибки, вычисленная либо относительно всех сглаженных уровней динамического ряда, либо не использованных в расчетах уровней, специально оставленных для проверки качества прогнозных моделей.

Порядок адаптивной полиномиальной модели обычно определяется на основе визуального анализа графика процесса, качественного анализа, с помощью метода изменения разностей, а также сравнения статистических характеристик моделей на участке обучения и ретроспективного прогноза.

Пример. Построить адаптивную модель Хольта по имеющимся данным об объеме привлеченных средств (депозитах) в коммерческом банке.

1 год	Депозиты, в тыс.руб.	2 год	Депозиты, в тыс.руб.	3 год	Депозиты, в тыс.руб.
Январь	19888	Январь	43120	Январь	43538
Февраль	21250	Февраль	40783	Февраль	46257
Март	23750	Март	39034	Март	50713
Апрель	26147	Апрель	38457	Апрель	54522
Май	26357	Май	40963	Май	57063
Июнь	31256	Июнь	44374	Июнь	61258
Июль	32893	Июль	44757	Июль	64994
Август	35625	Август	44325	Август	68119
Сентябрь	33354	Сентябрь	43938	Сентябрь	71871
Октябрь	40953	Октябрь	43319	Октябрь	71578
Ноябрь	41872	Ноябрь	43496	Ноябрь	72462
Декабрь	42187	Декабрь	43679	Декабрь	73071

Параметры сглаживания возьмем равные .

1. Начальные значения параметров приt=0 оценим по пяти первым точкам временного ряда с помощью метода наименьших квадратов. Расчеты удобно выполнить с помощью мастер-диаграмм ПППExcel. Для нахождения коэффициентов добавим линию тренда на графике временного ряда. Результаты линейной аппроксимации приведены на рис. 5.2.

Рис.5.2. Оценка линии регрессии методом наименьших квадратов

по пяти начальным точкам

Уравнение тренда имеет вид , откуда начальные значения параметров модели, соответствующие моменту времениt=0:

.

2. Используя начальные оценки параметров , соответствующие параметру времениt=0, находим оценки коэффициентов на момент времениt=1:

;

;

, .

3. Находим значение для момента времениt=1 по формуле:

1. Корректируем параметры для момента времениt=2:

2. ;

;

, .

6. Находим значение для момента времениt=2по формуле:

7. Далее возвращаемся к пункту 5 и повторяем вычисления до конца наблюдений.

Результаты расчетов приведены в таблице 5.2.

Таблица 5.2

Результаты расчета прогнозной модели Хольта при

t
0		18128.000	1783.500
1	19888	19895.050	1770.340	19911.500	-23.500	0.12
2	21250	20421.217	775.002	21665.390	-415.390	1.95
3	23750	21233.866	805.119	21196.219	2553.781	10.75
4	26147	23236.695	1763.288	22038.985	4108.015	15.71
5	26357	25802.895	2405.617	24999.983	1357.017	5.15
6	31256	26912.454	1368.770	28208.512	3047.488	9.75
7	32893	30363.567	3034.645	28281.224	4611.776	14.02
8	35625	33044.564	2751.726	33398.212	2226.788	6.25
9	33354	35676.387	2655.804	35796.290	-2442.290	7.32
10	40953	34847.457	-131.983	38332.191	2620.809	6.40
11	41872	39081.742	3361.031	34715.474	7156.526	17.09
12	42187	42043.232	3041.398	42442.774	-255.774	0.61
13	43120	43056.289	1418.725	45084.630	-1964.630	4.56
14	40783	43526.504	659.917	44475.014	-3692.014	9.05
15	39034	41804.026	-1245.999	44186.421	-5152.421	13.20
16	38457	39491.208	-2099.454	40558.028	-2101.028	5.46
17	40963	38137.426	-1502.917	37391.754	3571.246	8.72
18	44374	39664.453	921.038	36634.510	7739.490	17.44
19	44757	43237.447	3042.603	40585.491	4171.509	9.32
20	44325	45213.915	2189.695	46280.050	-1955.050	4.41
21	43938	45248.583	465.673	47403.610	-3465.610	7.89
22	43319	44470.877	-529.030	45714.256	-2395.256	5.53
23	43496	43505.854	-877.824	43941.847	-445.847	1.03
24	43679	43235.609	-391.761	42628.030	1050.970	2.41
25	43538	43428.454	75.924	42843.848	694.152	1.59
26	46257	43527.914	94.752	43504.379	2752.621	5.95
27	50713	45466.700	1569.979	43622.666	7090.334	13.98
28	54522	49610.104	3628.719	47036.679	7485.321	13.73
29	57063	54137.047	4347.298	53238.823	3824.177	6.70
30	61258	57489.404	3551.345	58484.345	2773.655	4.53
31	64994	61192.825	3673.006	61040.749	3953.251	6.08
32	68119	64955.549	3744.781	64865.830	3253.170	4.78
33	71871	68293.399	3419.236	68700.330	3170.670	4.41
34	71578	71823.491	3507.920	71712.635	-134.635	0.19
35	72462	72704.023	1406.010	75331.411	-2869.411	3.96
36	73071	72956.410	483.111	74110.034	-1039.034	1.42
				среднее	1412.802	6.99

На последнем шаге получили следующую прогнозную модель:

Точечный прогноз на шаг

Точечный прогноз на шаг

Точечный прогноз на шаг

На рисунке 5.3 представлены графики исходного ряда, смоделированного ряда и точечный прогноз на три шага.

Рис. 5.3 Исходный ряд, смоделированный ряд и точечный прогноз