- •Анализ и прогнозирование финансовых процессов
- •Глава 1. Математические методы и модели как средства исследования экономических процессов ………………………………………………………….7
- •Глава 8. Построение доверительных интервалов прогнозов ………………….210
- •Глава 9. Анализ и прогнозирование финансовых процессов на базе рассмотренных моделей ………………………………………………………….232
- •Предисловие
- •Глава 1. Математические методы и модели как средства исследования экономических процессов
- •1.1. Экономико-математические методы и модели исследования экономических процессов
- •1.2. Разновидности экономико-математических моделей и методов
- •1.3. Программные средства анализа экономических данных
- •1.4. Методика статистического анализа и прогнозирования данных
- •Контрольные вопросы
- •Глава 2. Исследование структуры временных рядов экономических показателей
- •2.1. Понятие временного ряда
- •В таблице 2.4 представлен ряд динамики средних величин - Среднедушевые номинальные денежные доходы населения России в месяц,
- •2.2. Структура временного ряда
- •2.3. Оценивание однородности и направленности изменений финансовых процессов, представленными временными рядами
- •2.4. Статистические показатели измерения динамики финансовых процессов
- •2.5. Показатели и критерии устойчивости и колеблемости развития финансовых процессов
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 3. Прогнозирование финансовых процессов с использованием кривых роста
- •3.1. Основные этапы прогнозирования с использованием кривых роста
- •3.2. Характеристика кривых роста
- •3.3. Методы выбора кривых роста для выравнивания
- •3.4. Методы оценки параметров кривых роста
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 4. Сезонные колебания в финансовых процессах
- •4.1. Исследование сезонных колебаний в финансовых процессах
- •4.2. Статистические критерии выявления сезонных колебаний
- •4.3 Показатели измерения сезонности
- •4.4. Моделирование тренд-сезонных временных рядов
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 5. Адаптивные методы прогнозирования
- •5.1. Сущность адаптивных методов
- •5.2. Экспоненциальное сглаживание
- •5.3. Полиномиальные адаптивные модели
- •5.4. Адаптивные модели прогнозирования сезонных процессов
- •5.5. Метод эволюции
- •5.6. Модели авторегрессии и скользящего среднего
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 6. Оценка точности и адекватности модели
- •6.1. Оценка адекватности модели
- •Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю.
- •6.2. Оценка точности модели
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 7. Применение регрессионных моделей для прогнозирования
- •7.1.Типы регрессионных моделей
- •7.2. Определение зависимости между моделируемыми показателями и определяющими их факторами
- •7.3. Оценка тесноты линейной и нелинейной связи
- •7.4. Линейная модель парной регрессии. Оценка значимости параметров линейной регрессии
- •7.5. Нелинейная регрессия
- •Полиномы разных степеней -;
- •7.6. Модель множественной регрессии
- •7.7. Отбор факторов при построении модели множественной регрессии. Мультиколлинеарность
- •7.8. Регрессионные модели с фиктивными переменными
- •7.9. Прогнозирование в регрессионных моделях
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 8. Построение доверительных интервалов прогнозов
- •8.1. Методы и критерии, используемых при построении доверительных интервалов
- •8.2. Доверительные интервалы при получении оценок по моделям регрессии
- •8.3.Оценка доверительных интервалов в моделях экономического прогнозирования
- •Доверительный интервал для тренда в общем виде определяется как
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 9. Анализ и прогнозирование финансовых процессов на базе рассмотренных моделей
- •9.1. Алгоритм методики оценивания доверительных интервалов прогнозов
- •9.2. Практическая реализация методов прогнозирования
- •(По индексам)
- •Контрольные вопросы и задания
- •Литература
- •Шелобаев Сергей Иванович
8.2. Доверительные интервалы при получении оценок по моделям регрессии
Оценка доверительного интервала прогноза в моделях парной регрессии. Рассмотрим построение доверительного интервала прогноза для модели парной регрессии:
. (8.6)
Определим прогнозное значение среднего значения Y, соответствующего некоторому значению Х0. Оценки, полученные методом наименьших квадратов, дадют наилучший несмещенный точечный прогноз Y0 в точке Х0:
. (8.7)
Прогнозное значение, скорее всего, не будет совпадать с фактическим значением Y0, так как для получения прогноза использовалась оцененная траектория регрессии, и кроме того существуют случайные возмущения, относящиеся к периоду прогноза. Таким образом,Y0представляет собой случайную переменную, вычислим ее дисперсию.
Оценки параметров модели МНК равны:
,
,
где ,,.
Используя допущения модели о независимости случайных возмущений, определим дисперсии оценок.
.
Так как , тои окончательно получим:
.
Аналогично
.
Ковариация оценок равна:
.
Используя приведенные выше результаты, определим дисперсию:
. (8.8)
Используем полученный результат, чтобы представить предсказанное значение Y0 в форме доверительного интервала. Так как – линейная функция от величин, имеющих двумерное нормальное распределение, то распределениетакже удовлетворяет нормальному закону со средними дисперсией, заданной (8.8). Для получения доверительного интервала используемt-статистику Стьюдента, которая будет иметь t-распределение с n-2 степенями свободы
.
Таким образом, 100(1-)%-ный доверительный интервал для среднего значения Y, соответствующего данному значению Х0 задается формулой
. (8.9)
Если доверительные интервалы, соответствующие (8.9) нанести на график (рис. 8.1), то они расположатся выше и ниже линии регрессии в виде ветвей гиперболы, ограничивая доверительную область. Погрешность в значении параметра приводит к вертикальному сдвигу линии регрессии, колеблемость параметра, приводит к покачиванию линии регрессии. При одинаковой оценке, линия регрессии будет поворачиваться вокруг оси с координатами. Эта доверительная область определяет местоположение линии регрессии, то есть средних величинY, но не отдельных возможных значений зависимой переменной, которые отклоняются от средней.
Рис.8.1. Доверительные интервалы линейного уравнения регрессии
Определим теперь доверительный интервал не для среднего значения Y, а для некоторого значения Y0, которое мы связываем с Х0: выясним, удовлетворяет ли новая пара наблюдений (Х0, Y0) прежней линейной структуре (8.6-8.7).
Введем новую переменную z:
, .
Определим дисперсию z, воспользовавшись независимостью u0 от u1,…,un, на основе которых были получены оценки .
,
Переменная z представляет собой линейную комбинацию нормально распределенных переменных, следовательно, сама имеет нормальное распределение. Так как в D(z) входит неизвестное истинное значение , перейдем к величине
,
имеющей t-распределение с n-2 степенями свободы, а 100(1-)%-ный доверительный интервал для Y0 есть
. (8.10)
Оценка доверительного интервала прогноза в моделях линейной множественной регрессии. Рассмотрим более общий случай. Пусть модель имеет вид
,. (8.11)
Определим прогнозное значение Yn+1, в предположении, что в периодеn+1ожидается следующий вектор-столбец значенийX:
. (8.12)
Показано, что наилучшим несмещенным прогнозом для будет , если . Точечный прогноз получается непосредственно:
.
Для того чтобы получить интервальный прогноз, необходимо установить характер выборочного распределения точечного прогноза.
,
, так как.
Дисперсия оценки
. (8.13)
Так как удовлетворяют многомерному нормальному распределению, величина тоже распределена нормально, то есть
.
Сформулируем t-критерий
,
где .
Величина tудовлетворяетt- распределению сn-kстепенями свободы, следовательно, 100(1-)%-ный доверительный интервал длязадается формулой:
. (8.14)
Доверительный интервал будет шире, если мы будем рассматривать изолированное значение Y, ассоциируемого с вектором
.
Точечный прогноз есть
.
Реальное значение равно:
,
где - случайная помеха в прогнозируемом периоде.
Разность между прогнозируемой величиной и реальной есть
.
Так как и , то , и, учитывая независимостьu, получим
.
Сформулируем t-критерий
.
Величина tудовлетворяетt-распределению сn-kстепенями свободы. Следовательно, 100(1-)%-ный доверительный интервал дляYn+1определяется как
. (8.15)
При прогнозировании по многофакторной модели необходимо знать прогнозные значения всех входящих в нее факторов. Оценки этих факторов могут быть получены на основе временных экстраполяционных моделей или заданы пользователем. В этом случае можно интерпретировать рассчитанное по регрессии значение Yпри некоторых заданныхХкак оценку условной вероятности событияYпри фиксированныхХ. Оценки подставляют в модель и получают точечный прогноз результирующего показателя. Следовательно, точность прогноза будет определяться тем, насколько надежно оценены значения независимых переменных.
Доверительные интервалы прогнозов многофакторных моделей зависят от удаления экзогенных переменных от их среднего значения, стандартных ошибок выборочных оценок параметров модели, объема выборочной совокупности исходных данных. При построении прогноза с использованием систем одновременных уравнений ширина доверительного интервала будет увеличиваться в зависимости от количества уравнений входящих в модель. Точность прогнозного значения каждой эндогенной переменной зависит от точности определения всех других эндогенных переменных систем. Следует также учесть, что и сами значения экзогенных переменных являются прогнозными. Точность прогноза по таким моделям не всегда бывает удовлетворительной, усложнение модели и стремление приблизить ее к реальной системе не всегда дает желаемые результаты. Следует также отметить, что вопрос о том, в какой мере в будущем сохранится найденная тенденция, не может быть решен с помощью доверительных интервалов. Этот вопрос решается с помощью экономического анализа и экспертной оценки.
В рассмотренном подходе построение доверительных интервалов линейных моделей основано на использовании ошибок параметров. Аналитически данная проблема решена для линейных моделей. В случае нелинейной модели, приводимой к линейному виду, также возможно интервальное оценивание доверительных интервалов.
Оценка доверительного интервала прогноза в моделях нелинейной регрессии. Рассмотрим построение доверительных интервалов прогноза для показательной функции. Данная функция после логарифмирования приводится к линейному виду:
.
Для преобразованной функции можно найти среднеквадратические ошибки оценок параметров ии среднеквадратическую ошибку прогноза для:
,
где - среднеквадратическое отклонение в логарифмах.
С помощью обратного преобразования определяются доверительные интервалы прогноза для исходной модели:
.
Степенная модель логарифмированием также приводится к линейному виду:
.
Доверительный интервал прогноза строится для линейной модели с учетом того, что при определении стандартной ошибки параметра используются не исходные данные, а преобразованные (логарифмы):
,
где - среднеквадратическое отклонение в логарифмах.
С помощью обратного преобразования определяются доверительные интервалы прогноза для исходной модели:
.
Доверительные интервалы, определяемые для функций приводимых к линейному виду с помощью логарифмического преобразования, являются несимметричными относительно точечного прогноза.