5.2. Экспоненциальное сглаживание

Адаптивные модели базируются на двух схемах: скользящего среднего (MA-модели) и авторегрессии (АR-модели).

Согласно схеме скользящего среднего, оценкой текущего уровня является взвешенное среднее всех предшествующих уровней, причем веса при наблюдениях убывают по мере удаления от последнего уровня, т. е. информационная цен­ность наблюдений признается тем большей, чем ближе они к концу интервала наблюдений. Такие модели хорошо отра­жают изменения, происходящие в тенденции, но в чистом виде не позволяют отражать колебания.

Модель простой экспоненциальной средней описывается выражением:

, (5.1)

и используется, как отмечалось ранее, для сглаживания временных рядов. Для оценки ее текущего значения к величине экспоненциальной средней в момент времени (t-1), взятой с весом(1-α), необходимо добавить величину текущего фактического уровня ряда , умноженного на коэффициентα.

Рассмотрим процедуры прогнозирования, выполняемые с использованием моделей экспоненциальных средних. Экспоненциальное сглаживание, как указывалось в параграфе 2.3 осуществляется по формуле:

,

здесь β=1-α, или

,

где n– количество членов исходного ряда;

s₀ - величина, характеризующая начальные условия.

При n→∞ и β<1коэффициент βⁿ→0, а сумма коэффициентов уровней ряда, следовательно, в этом случае экспоненциальная средняя не зависит от начальных условий и полностью определяется суммой произведений уровней ряда на соответствующие им коэффициенты:

.

Таким образом, величина s_tоказывается взвешенной суммой всех членов ряда, причем веса падают экспоненциально в зависимости от дальности периода наблюдений. Например, еслиα=0,3, тогда вес текущего наблюдения равен0,3; вес предыдущего наблюденияy_t-1 равенαּβ=0,3ּ0,7=0,21; для наблюденияy_t-2 равенαּβ²=0,3ּ0,7²=0,147и т.д.

Пусть модель временного ряда имеет вид:

,

где а₁=const;

ε_t– случайные неавтокоррелированные отклонения нулевым математическим ожиданием и дисперсией σ².

В работах Р.Брауна показано, что экспоненциальная средняя s_t имеет то же математическое ожидание, что и рядy_t, но меньшую дисперсию:

;

. (5.2)

Так как , то дисперсия экспоненциальной среднейменьше дисперсии временного ряда, равной. Из формулы (5.2) видно, что при высоком значенииαдисперсия экспоненциальной средней незначительно отличается от дисперсии рядаy_t. Чем меньшеα, тем в большей степени уменьшается дисперсия экспоненциальной средней, таким образом, экспоненциальная средняя играет роль фильтра, поглощающего колебания исходного временного ряда.

Предположим, что модель временного ряда имеет вид:

,

где а_1,t - изменяющийся во времени средний уровень ряда;

ε_t– случайные неавтокоррелированные отклонения нулевым математическим ожиданием и дисперсией σ².

Прогнозная модель в этом случае имеет вид:

,

где - прогноз, сделанный в моментtнаτшагов вперед;

- оценкаа_1,t .

Экспоненциальная средняя служит средством оценки единственного параметра модели:

,

т.е. все свойства экспоненциальной средней распространяются на прогнозную модель. В выражении (5.3)

, (5.3)

полученному из (5.1), величина есть погрешность прогноза, а новый прогнозs_tполучается в результате корректировки предыдущего прогноза с учетом его ошибки. В этом и проявляется сущность адаптации этой модели.