4.4. Моделирование тренд-сезонных временных рядов

Так как во многих социально-экономических процессах наблюдаются сезонные изменения, то моделирование и прогнозирование таких процессов должно производиться с учетом сезонности. Как отмечалось ранее, для отображения сезонных процессов могут быть использованы аддитивные и мультипликативные модели.

В моделях аддитивного типа (2.1) каждая компонента сезонного временного ряда получается суммированием отдельно полученных компоненты тренда и сезонной компоненты.

Тренд U_tчаще всего оценивается в виде полинома:

, (4.12)

или же, если априорно известен вид зависимости, в форме других известных функций (экспоненциальных функций, логистическая кривая, кривая Гомперца).

Для сезонной компоненты используют модель, описываемую уравнением:

. (4.13)

Данная модель позволяет моделировать некоторую среднюю сезонную волну, в действительности, и амплитуда, и фаза сезонной волны могут изменяться. Учесть эти изменения можно путем усложнения модели (4.13), либо введением явного фактора времени в уравнения:

,

либо изменением во времени коэффициентов ряда Фурье a₀,а_i,b_i.

Рассмотрим последнее предложение подробнее. Расчет коэффициентов отрезка ряда Фурье основывается на значениях всего ряда остаточной компоненты . Разобьем промежуток времени1,Тнаkчастей:

,

но так, чтобы .

На каждом отрезке определяем значения коэффициентов ряда Фурьеa₀,а_i,b_i по формулам (4.7). В результате получим матрицу коэффициентов:

.

Рассматривая каждый столбец как выборку случайных величин a₀,а_i,b_i, можно составить уравнение регрессии. Изменения динамики коэффициентов отрезка ряда Фурье представим в виде линейной зависимости:

. (4.14)

Разбивая отрезок 1,Тнаkравных частей, изменяем масштаб времени: в формулах (4.13) и (4.14) параметрыiиtимееют разные значения, они совпадают лишь приk=m. Согласовать масштаб времени можно, вводя масштабирование:

.

Для обеспечения стабильности коэффициентов регрессии необходимо, чтобы временной ряд был достаточно длинным (не менее шести лет).

В моделях мультипликативного типа (2.2) компонента сезонного временного ряда получается как произведение трендовой и сезонной компонент. Трендовая составляющая обычно представляется полиномом, а сезонная компонента - индексами сезонности. Представленные модели в основном моделируют постоянную сезонную волну, реальные экономические процессы, как правило, имеют неоднородные сезонные колебания.

Построение обобщенных моделей тренд-сезонных временных рядов финансовых показателей аддитивного и мультипликативного типов приведено в параграфе 9.2.

Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определение сезонным колебаниям.

2. Какие факторы вызывают сезонные изменения в экономических процессах?

3. В чем отличие циклической компоненты временного ряда от сезонной?

4. Как графически определить наличие сезонных колебаний во временном ряде?

5. Какие критерии используются для выявления сезонных колебаний во временном ряде? Поясните суть каждого метода.

6. Как можно определить характер сезонности (аддитивный или мультипликативный)?

7. Какие показатели используются для измерения сезонности?

8. Что такое сезонная волна?

9. Какие методы оценки точности выделения сезонной компоненты вы знаете?

10. Какими моделями возможно представление сезонной компоненты в тренд-сезонных экономических процессах?

11. В таблице приведены данные по выручке от реализации лако-красочной продукции, млн. руб.

Месяц	1 год	2 год	3 год
Январь	7 254	9 783	8 367
Февраль	7 373	8 943	7 880
Март	7 468	7 855	8 633
Апрель	8 157	7 934	9 748
Май	8 795	8 467	12 454
Июнь	9 589	9 796	14 875
Июль	10 995	11 892	16 893
Август	12 790	13 934	19 356
Сентябрь	13 562	14 563	20 767
Октябрь	13 457	14 985	17 986
Ноябрь	12 976	13 478	15 733
Декабрь	11 157	9 623	11 124

а) Построить график временного ряда методом наложения, сделать вывод о наличии сезонных колебаний.

б) Подобрать подходящую кривую роста для данного временного ряда.

в) Определить наличие сезонных колебаний, используя специальные математические критерии.

12. По данным задания 11 рассчитать индексы сезонности, как отношение фактических уровней и сглаженных по тренду уровней. Построить график сезонной волны и сделать выводы.