Глава 6. Оценка точности и адекватности модели

6.1. Оценка адекватности модели

После построения математической модели временного ряда ставится вопрос о возможности ее применения для анализа и прогнозирования изучаемого явления. Ответ на этот вопрос может быть получен после проверки расчетной модели на адекватность реальному процессу. Полного соответствия математической модели реальному процессу быть не может, поэтому проверяется не адекватность вообще, а адекватность тех свойств, которые являются существенными для исследователя, а именно правильность отражения моделью систематических компонент временного ряда. Систематические компоненты включает в себя тренд и периодические колебания. При правильном отображении этих компонент изменение остаточной компоненты не будет связано с изменением времени, т.е. будет носить случайный характер.

Поэтому принято считать, что модель адекватна изучаемому процессу, если остаточная компонента представляет собой случайную компоненту временного ряда. Это требование будет выполняться, если остаточная компонента удовлетворяет свойствам:

1. случайности колебаний уровней остаточной последовательности;

2. соответствию распределения остаточной компоненты нормальному закону распределения;

3. равенству математического ожидания остаточной компоненты нулю;

4. независимости значений уровней остаточной компоненты между собой.

Рассмотрим проверку перечисленных свойств подробнее.

Проверка случайности колебаний уровней остаточной последовательности. Проверку случайности колебаний уровней остаточной компоненты проводят используя критерии серий, основанный на медиане (рассмотрен в параграфе 2.3) или критерий поворотных точек (критерий пиков).

Критерий поворотных точек (критерий пиков).

Точка считается поворотной, если она одновременно больше или меньше двух рядом стоящих точек, т.е. <>или><. Наиболее просто определить поворотные точки, если ряд остатков изобразить графически. Начальное значение также как и последнее значение нельзя считать поворотной точкой. На рисунке 6.1 представлен ряд остатков, хорошо видно, что в ряду число поворотных точек равно 10.

Рис. 6.1. Ряд остатков.

Если остатки случайны, то поворотная точка приходится примерно на каждые 1,5 наблюдения. Если точек больше, то ряд является быстро колеблющимся и это не может быть объяснено только случайностью. Если же их меньше, то последовательные значения положительно коррелированны. Общее число поворотных точек для ряда остатков обозначим через р.

Вслучайной выборке математическое ожидание числа точек поворотар и дисперсия выражается формулами:

Ряд является случайным с 5% уровнем значимости, если выполняется неравенство:

,

где квадратные скобки означают целую часть числа.

Если это неравенство не выполняется, то ряд остатков нельзя считать случайным, т.е. он содержит регулярную компоненту, мо­дель не является неадекватной.

Соответствие распределения остаточной компоненты нормальному закону распределения. Анализ соответствия ряда остатков нормальному закону распределения осуществляется по RS – критерию:

,

где - соответственно максимальное и минимальное значение остаточной компоненты,

- среднеквадратическое отклонение ряда остатков.

Расчетное значение RS– критерия сравнивается с табличными значениямиRS– критерия (таб. 6.1) . Если расчетное попадает в интервал, ограниченный табличными значениями данного критерия, то с заданным уровнем значимости гипотеза о нормальности распределения остаточной компоненты принимается. В противном случая модель считается неадекватной.

Таблица 6.1

Критические границы RS– критерия

Число наблюдений	α=0,05		α=0,10
	Нижняя граница	Верхняя граница	Нижняя граница	Верхняя граница
8 10 12 14 16 18 20 25 30 35 40 45 50	2,50 2,67 2,80 2,92 3,01 3,10 3,18 3,34 3,47 3,58 3,67 3,75 3,83	3,399 3,685 3,91 4,09 4,24 4,37 4,49 4,71 4,89 5,04 5,16 5,26 5,35	2,59 2,76 2,90 3,02 3,12 3,21 3,29 3,45 3,59 3,70 3,79 3,88 3,95	3,308 3,57 3,78 3,95 4,09 4,21 4,32 4,53 4,70 4,84 4,96 5,06 5,14

Проверка соответствия распределения остаточной компоненты нормальному закону распределения может быть произведена с помощью исследования показателей асимметрии и эксцесса. Значения коэффициентов асимметрии и эксцесса для нормально распределенной совокупности равны нулю. Так как предполагают, что значения остаточной компоненты являются выборкой из некоторой генеральной совокупности, то можно определить выборочные характеристики асимметрии, эксцесса и их ошибки по формулам:

где А – выборочная характеристика асимметрии; Э – выборочная характеристика эксцесса; и – соответствующие среднеквадратические ошибки.

Если одновременно выполняются следующие неравенства:

то гипотеза о нормальном характере распределения остаточной компоненты принимается.

Если выполняется хотя бы одно из неравенств

то гипотеза о нормальном характере распределения отвергается, модель признается неадекватной.

Другие случаи требуют дополнительной проверки с помощью более сложных критериев.