МК_Справочник_том_1

деленными статистическими свойствами, зависящими от макросейсмических параметров землетрясения. Для ответственных сооружений нормами предусмотрен расчет на особые сочетания нагрузок с учетом сейсмических воздействий, в каче- стве которых следует использовать инструментальные записи ускорений оснований при землетрясениях, а также синтезированные акселерограммы. В этих целях для анализа поведения конструкций при сейсмических воздействиях наиболее эффективным является метод статистического моделирования (Монте−Карло) при генерировании на ЭВМ ансамбля реализаций со статистическими характеристиками, получаемыми специальной обработкой имеющихся записей (в условиях ограни- ченности информации).

При статистическом моделировании в целях контроля прочности сооружения выполняют его многократный динамический детерминистический расчет на действие реализаций ансамбля с обработкой данных по параметрам движения и напря- женно-деформированного состояния элементов объекта. Далее проводят оценку показателей риска, относительно сейсмического воздействия. Поскольку эти показатели должны быть малыми, статистическое моделирование применяют для оценки показателей условного риска, т.е. вероятности возникновения разрушений при заданном конкретном воздействии (частоте события выброса за пределы области допустимых состояний).

Вводят функцию риска H(t) как дополнение функции безопасности S(t) до единицы [2]

H (t) = 1 − S (t), S (t) = P{ν(τ) ΩS , τ [0,t]} ,

ãäå S(t) вероятность случайного события, которое заключается в том, что в интервале [0, t] не возникнет условий, приводящих к разрушению; ν − вектор типа вектора качества в теории надежности; ΩS − область безопасности, включающая допустимую область по предельным состояниям.

Åñëè Í(t) не очень малая величина, то при статистическом моделировании из N испытаний (расчетов) допустима оценка для Í(t) на отрезке

$ =

H (t ) n(t ) N ,

ãäå n(t) − число испытаний (расчетов), в которых прочностные или деформационные параметры объекта вышли за пределы допустимой области по предельным состояниям.

Предельно допустимое значение риска H назначают с учетом ответственности объекта, а также некоторой неопределенности исходной информации (свойства грунтов, геология). Изменчивостью характеристик объекта, по сравнению с измен- чивостью сейсмических нагрузок в большинстве случаев можно пренебречь.

Предлагались различные модели математического описания колебаний грунта при землетрясениях. Широкое распространение получила модель В.В.Болотина,

основанная на представлении ускорений Z.. в форме, позволяющей учесть изменение во времени спектрального состава колебаний,

ãäå S − вектор, характеризующий интенсивность сотрясения, спектральный состав, продолжительность интенсивной фазы (зависит от макросейсмических параметров, местных геологических и грунтовых условий); Lk − квазиогибающие, характеризующие медленное изменение амплитуд во времени на отрезке θ преобладающих периодов сотрясения и нулевые вне отрезка длительности сотрясения θ; ϕk − стационарные случайные функции времени, характеризующие спектральный состав сотрясения, с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

291

Одночленное приближение для (5.32) соответствует допущению о возможности пренебречь изменением спектрального состава. Такой подход применим для аппроксимации нестационарных случайных процессов, близких к стационарному (с медленно меняющейся дисперсией). В этом случае рассматриваемая модель представляет стационарный случайный процесс j(t) с фиксированным спектром, модулированный некоторой детерминированной квазиогибающей L(t):

где h - единичная функция Хевисайда; q нормирующий множитель.

Метод статистического моделирования, основанный на представлении (5.32) и (5.33), позволяет получать нужное число реализаций путем умножения генерируемых стационарных случайных функций (со спектральными характеристиками, соответствующими записям прошлых землетрясений) на детерминированные функции L. Таким образом (5.32) или (5.33) используются при анализе, а затем при синтезе акселерограмм, причем анализ проводится с учетом гипотезы об эргодичности стационарного процесса, что позволяет усреднение по множеству реализаций заменить усреднением по времени единственной акселерограммы.

Для детерминированных прочностных расчетов на ЭВМ применяют программы, в которых учитываются нелинейные эффекты.

Ниже приведены данные программы ГАММА [11], основанной на представлении (5.33), выполняющей на ЭВМ ЕС дискретный анализ реальной записи в виде временнóго ряда, а затем генерирование реализаций случайного нестационарного процесса с использованием метода канонических разложений, быстрого преобразования Фурье (БПФ) и сплайн-интерполяции без ограничений на вид аппроксимируемых функций.

Программа сглаживает и балансирует исходный ряд, выделяет и аппроксимирует квазиогибающую и стационарную часть процесса. Стационарный процесс сглаживается косинусным окном, а затем выполняются: анализ Фурье; вычисление амплитудного и фазового частотных спектров, первичной оценки спектральной плотности; сглаживание на смежных частотах дисперсии, окончательно сглаженной оценки спектральной плотности и среднеквадратических отклонений по частотам. Далее выполняется цикл по заданному числу реализаций с синтезом нестационарных процессов - акселерограмм. В каждом таком цикле выполняется цикл по частотам спектра - генерирование (с использованием полученных среднеквадратических отклонений) гауссовых случайных величин (амплитуд) и синтез Фурье стационарной части процесса. Производится сглаживание косинусным окном, удаление среднего и синтез нестационарного процесса с балансировкой и записью на МД.

Необходимость в сглаживании и балансировке временнóго ряда возникает вследствие неточностей при оцифровке, а также систематических ошибок, вносимых аппаратурой при регистрации процесса (например, «дрейфа нуля») и прочих случайных причин. Наличие погрешностей (трендов) может приводить к заметному разбалансу интеграла возмущения по времени к некоторому моменту t «успокоения» колебаний почвы.

Сглаживание рядов осуществляется локальным методом наименьших квадратов многочленом третьей степени по пяти точкам. Балансировка ряда Z.. (t) выполня-

ется при сплайн-аппроксимации функций, если имеется разбаланс скорости Z. (t ) к концу воздействия

tò z..(t)dt = z.(t ) º d1 ¹ 0

0

и (или) несоответствие разбаланса перемещения Z(t ) заданной величине Z0.

292

Для выделения квазиогибающей L(t) ðÿä À, представляющий акселерограмму, разбивается на N2 интервала, на которых содержится NN квантов Н. На каждом j-м интервале производится усреднение по времени, т.е. определяется средний квадрат

ускорения a j2 ; величины a j2 вместе с начальным значением À(1) заносятся в

массив огибающей L, элементы которого отнесены соответственно к центрам интервалов и к началу ряда t =0. Производится сплайн-аппроксимация огибающей, а затем выделение стационарного процесса j делением элементов À на интерполированные значения огибающей. В результате имеем j(t) со средним квадратом

j2(t) = 1 и спектральной плотностью S(w), причем

∞

ò S(w)dw = 1 .

0

При выборе N2 длительность интервала должна быть велика в сравнении с характерным временем корреляции процесса j, но на интервале свойства процесса не могут меняться существенно и функция j должна удовлетворять условиям стационарности.

Для получения первичной оценки спектральной плотности методом БПФ, временнóé ðÿä èç N0 элементов на начальном временнóм интервале T0 =H(N0 -1) сглаживается 1/10 косинусным окном. Дискретное прямое преобразование Фурье производится процедурой FFТ. Числовой ряд при этом должен содержать 2ì элементов (м - целое число), а для хранения коэффициентов Фурье требуется 2ì + 2 полей памяти. Подбирается значение м и из ряда ji формируется массив A1 с ближайшим к N0 +2 числом элементов N1 +2 = 2ì +2 ³ N0 +2, причем добавленные сверх числа N0 элементы заполняются нулями. В результате работы FFТ вычисля-

293

ются коэффициенты Фурье Xj (j =1,2...N1). Фиксируется временнóй интервал T =(N1 −1)H с учетом добавленных нулей, частотный интервал ω=2π/T, частота среза ωc =π/H, частотный спектр ωk =K ω (Ê=1,2....N =1/2N1).

Амплитудный частотный спектр Às(ωk) вычисляется через коэффициенты Фу-

òîì β =1/0,875, чтобы восстановить потерю дисперсии при косинусном сглаживании:

Окончательно сглаженная оценка спектральной плотности получается осреднением первичной оценки на M1 смежных частотах

$ = + +

Sk (Sk Sk +1 KSk + M1 −1) M1 .

Для генерирования стационарного процесса используется частный случай канонического разложения − разложение случайного процесса в ряд Фурье

ϕ(ti ) = U 0 + å(U k cos ωkti + Vk sinωkti ) ,

k =1

ãäå U0, Uk, Vk − некоррелированные гауссовы случайные величины с вероятностными

С использованием параметров квазиогибающей и распределения дисперсий генерируется заданное число реализаций нестационарного процесса. Для получения реализаций ϕ используется синтез Фурье, причем гауссовы числа генерируют дат- чики случайных чисел из математического обеспечения ЭВМ. Нестационарные реализации образуются умножением ϕ на интерполированные значения огибающей L . Результаты каждого цикла генерирования после сглаживания и балансировки запоминаются, образуя банк данных сейсмической информации, для дальнейшего использования в методе Монте−Карло.

5.5.3. Вероятностный метод расчета протяженных металлоконструкций. Самым распространенным типом движения грунта при землетрясениях, характерным для плотных грунтов и средних фокальных расстояний, являются нерегулярные колебания с преобладающими периодами 0,2–0,5 с продолжительностью 10–40 с. В этом случае наиболее адекватной и распространенной является амплитуднонестационарная модель сейсмического воздействия.

Частотный состав сейсмического воздействия характеризуется его спектральной плотностью G(ω), зависящей от доминантной частоты θ и параметра корреляции процесса во времени. Нестационарность процесса обычно учитывается с помощью квазидетерминированной огибающей, аппроксимируемой выражениями, предложенными в работах В.В.Болотина, Лиу, Лина и др.

Сейсмическое возмущение в принципе является многокомпонентным. Обычно компоненты сейсмических ускорений в основании сооружения могут считаться взаимно некоррелированными. Исключение составляют случаи, когда направленность движения грунта основания сильно выражена, как, например, для записей на жестких грунтах при небольших эпицентральных расстояниях и при неглубоком расположении очага землетрясения. В подобных случаях корреляция между компонентами сейсмических ускорений может быть существенной. На основании статистической обработки записей реальных землетрясений для стандартов гори-

294

зонтальных взаимно ортогональных компонент сейсмического ускорения основания могут быть приняты соотношения: σx =σsin56°, σy = σcos56°. Ïðè ýòîì σ≈0,25Ag, ãäå À − коэффициент, значения которого принимаются по СНиП равными 0,1; 0,2; 0,4 соответственно для расчетной сейсмичности 7, 8 и 9 баллов; g ускорение силы тяжести.

При произвольной ориентации сооружения относительно направления действия сейсмических ускорений в основании стандарты σx , σó этих ускорений, действующих в направлении горизонтальных осей X, Ó сооружения, определяются с помощью формул:

ãäå α0 − угол между направлениями действия горизонтальных компонент сейсми- ческих ускорений в основании и соответствующими осями Õ è Y сооружения; в общем случае угол α0 выбирается так, чтобы загружение было невыгоднейшим; в затруднительных случаях принимается невыгоднейшее из двух загружений:

1)α0 = 0; σxα = σx ; σyα = σy ;

2)α0 = π2 ; σxα = σy ; σyα = σx ;

Для сооружений большой протяженности (в плане) с размерами, соизмеримыми с масштабами корреляции процессов в пространстве, или с характерными длинами сейсмических волн, приходится считаться с пространственной изменчивостью поля сейсмических колебаний грунта. Движения отдельных опор таких сооружений во время землетрясений в принципе могут происходить по различным случайным законам во времени и пространстве из-за сложного характера движения грунта в результате многократного отражения и преломления сейсмических волн при прохождении через различные пласты грунта. Традиционный подход, основанный на предположении о синфазных колебаниях грунта в разных точках, пригоден только для сооружений, размеры которых (в плане) значительно меньше длин сейсмических волн. Для учета изменчивости сейсмических ускорений вдоль линии распространения волны может быть использована обобщенная функция взаимной спектральной плотности G(ω, xk, xl) [13] ускорений. Сейсмическая реакция сооружения может быть получена как суперпозиция реакций на воздействие каждой из компонент ускорений грунта, рассматриваемых как статистически независимые.

Расчетная схема протяженного сооружения принимается в виде плоской или пространственной стержневой системы с сосредоточенными в n узлах массами ms . Наличие вычислительной техники и соответствующего программного обеспечения позволяет определять частоты pi и формы αij , αis собственных колебаний такой системы, а также формы ее деформирования εks при единичных смещениях каждой из ï0 опор в заданном направлении.

Динамическая реакция сооружения представляется в виде разложения в ряд по N формам его собственных колебаний. Тогда для дисперсии (среднего квадрата) каждой компоненты перемещения, например X, точки j сооружения в результате решения задачи о его случайных колебаниях, опуская все промежуточные выкладки, можно записать следующее выражение [13, 28]:

295

(в случае связанных колебаний суммирование распространяется на все компоненты перемещений); bik , brl - стандарты коэффициентов динамичности при колебаниях сооружения по i-é è r-й формам от воздействия, приложенного к опорам k, l; Air коэффициент, учитывающий взаимную корреляцию i-é è r-й обобщенных координат; Ñirkl коэффициент, учитывающий пространственную корреляцию сейсмических ускорений.

Выражение (5.35) позволяет определить сейсмическую реакцию протяженного сооружения в самом общем случае, когда движения оснований отдельных опор различаются как по интенсивности, так и по спектральному составу.

При отсутствии других данных обычно принимается: sk = sl = s ; Gk (w) = Gl (w) = G(w) ;

bik = bil = bi ; brk = brl = br .

Для высокочастотных систем ( ði > q, q - доминантная частота землетрясения) оценка дисперсии коэффициента динамичности может быть получена с помощью выражения

Ti =2p/pi собственных колебаний сооружения и логарифмического декремента di колебаний может быть представлен в виде

bi (Ti ,di ) = bi (Ti ,d0)K ψi ,

ãäå bi(Ti,d0) - значение коэффициента динамичности при логарифмическом декременте колебаний d0 =0,314, принятом в нормах; Ê i коэффициент, учитывающий логарифмический декремент колебаний di d0 и нестационарность воздействия.

Ïðè Ti £ 0,1 c è di ³ 0,2 Êi = 1. Ïðè Ti > 0,1 c è di < 0,2

ãäå t - продолжительность стационарной фазы землетрясения ( t »10...15 ñ).

Значения di рекомендуется принимать по фактическим данным для аналогич- ных сооружений, а при их отсутствии ориентировочно может быть принято для железобетонных конструкций зданий и сооружений, морских стационарных платформ 0,3; для металлических конструкций (за исключением морских платформ, висячих и вантовых мостов) - 0,15; для висячих и вантовых мостов - 0,03. О соот-

ношении между значениями стандарта bi и соответствующей величины bií , приня-

той в нормах, изложено ниже.

Значения коэффициентов Air , учитывающих взаимную корреляцию i-é è r-й обобщенных координат, могут определяться по формуле

296

Ïðè (Ti +Tr) / 2 £ 0,1 c Air » 1.

Коэффициенты Cirkl зависят от вида взаимной спектральной плотности G(w, xk, xl) ускорений в точках k, l.

В общем случае [13]

Для наиболее характерного случая «замороженной волны» может использовать-

Для случая статистически независимых ускорений в точках k, l

Cirkk = 1 ; Cirkl = 0 (k ¹ l) .

В случае полной корреляции сейсмических ускорений в точках k, l (при синфазном возмущении всех опор сооружения) Cirkl = 1, причем при отсутствии близких или кратных частот ( pi << pr ) в спектре собственных частот колебаний сооружения Aii = 1, Air = 0 ( i ¹ r ).

Тогда

Этот случай соответствует принятому в нормативных документах, причем путем деления приведенного ускорения hij на стандарт ускорения s можно сделать его безразмерным и привести к виду, принятому в нормах.

Для однопролетных симметричных сооружений (ï0 =2) типа мостов пролетом L дисперсия перемещения в точке j может определяться по формуле [13]

N N

x2j = å å pi−2 pr−2bibr Air hi1 j hr1 j mir2 , i =1 r =1

ãäå ïðè hi1 j = ±hi 2 j ; hr1 j = ±hr 2 j

297

Åñëè L / vTi ® 0, òî mi(+) ® 2, mi(−) ® 0, hij = 2hi1j и формула (5.38) приводится к виду (5.36). Формулы (5.37), (5.39) рекомендуются для расчета однопролетных соору-

жений при 0 £ L / vTi £ 0,25, à ïðè L / vTi > 0,25 может быть принято mi = 2 .

При определении стандартов сейсмических усилий в конструкциях (изгибающих моментов, поперечных и продольных сил) в формулах для hikj , hrlj производится замена значений перемещений aij , arj на соответствующие им зна- чения изгибающих моментов a(ijM ) , a(rjM ) , поперечных сил a(ijQ) , a(rjQ) и других фак-

торов. Например, h(ikjM ) = a(ijM )Qiko Mio , hikj(Q) = a(ijQ)Qiko Mio . Стандарты сейсмических сил при каждой i-й форме колебаний могут быть получены умножением стандартов перемещений на соответствующую жесткость, т.е. Sij = mj pi2xij .

Особенностью протяженного сооружения является то, что кроме динамической реакции, вызванной действием сейсмических ускорений основания, в конструкциях возникают также квазистатические усилия, вызванные разностью сейсмических перемещений основания отдельных опор. При этом средний квадрат квазистатиче- ского перемещения точки j сооружения может определяться по формуле

x2 no R

j (c) = å ekj elj soksol kl , k,l =1

ãäå ekj , elj – формы деформирования системы, т.е. перемещения точки j при единичных смещениях опор k, l, соответственно; sok , sol – стандарты перемещения основания опор k, l; Rkl – коэффициент взаимной корреляции перемещений основания опор k, l.

Для однопролетного симметричного сооружения при so = const

x2j (c) = e12j s2o mc2,

ãäå

m2c = 2(1 ± R12) = 2(1 ± cos qc Lv);

qc – частота сейсмических перемещений основания ( qc »1¸4ñ-1).

При определении стандартов сейсмических усилий в этом случае производится замена значений перемещений ekl , elj , e1 j на соответствующие значения изги-

бающих моментов e(kjM ), elj(M ), e1(Mj ), поперечных сил e(kjQ ), elj(Q ), e1(Qj) и других факто-

ров при единичных смещениях опор k, l, 1, соответственно.

Средние квадраты общих перемещений (или усилий) определяются по формуле

x2j (0) = x2j + x2j (c).

Расчетные значения сейсмических перемещений или усилий определяются умножением их стандартов на коэффициенты обеспеченности ri . Коэффициент

298

Таким образом, коэффициенты обеспеченности при сейсмическом воздействии являются спектральными характеристиками, значения которых убывают с увеличе- нием периода Ti (уменьшением частоты ði ) и уменьшением логарифмического декремента колебаний di . В общем случае для получения расчетных значений, например, перемещений, в формулы типа (5.35), следует ввести под знак суммирования произведение ri rr .

В области малых периодов (высоких частот) значения r соответствуют отношению максимума ускорения amax грунта на центральной частоте W к его стандарту, т.е. r = r0 = amax /s. Тогда, учитывая принятую в нормах трактовку коэффициента

причем r0 »4.

Увязка метода расчета, основанного на статистической концепции, с основными положениями норм легко осуществляется с помощью введения к расчетным значениям перемещений для усилий в конструкциях нормативных коэффициентов, позволяющих учитывать расчетные предельные состояния элементов конструкций.

5.5.4. Расчет резервуаров с жидким продуктом. Для хранения жидких продуктов в сейсмически активных районах широко применяют вертикальные и горизонтальные стальные цилиндрические резервуары, а также резервуары иной формы. Резервуары для хранения нефтепродуктов, сжиженных газов, водного аммиака, спирта и других, находятся, дополнительно к гидростатическому, под внутренним дав-

299

лением паров продукта. Резервуары, например, для хранения сжиженного бутана и пропана, проектируют с учетом возможного внутреннего давления до 1,9 МПа. В некоторых случаях в пустых резервуарах возможно действие пониженного в сравнении с атмосферным давления. Поэтому расчет резервуаров на сейсмику проводят с учетом внутреннего давления. Вместе с тем внутреннее статическое давление не влияет на динамику опорных конструкций.

Особенность расчета резервуаров с жидким продуктом на сейсмику состоит в том, что при землетрясении на конструкции действуют горизонтальные сейсмиче- ские нагрузки, обусловленные импульсивным гидродинамическим эффектом, вызванным движением части жидкости совместно с корпусом резервуара, и поверхностные волны, связанные с конвективным гидродинамическим эффектом. Существенное влияние на интенсивность и распределение сейсмических усилий могут оказывать податливость грунта основания и деформативность стенок, а также вероятность проскальзывания в основании резервуара. С учетом этих факторов в ЦНИИПСК разработаны методы расчета [16, 21, 26], реализованные в программах для компьютера.

В вертикальных резервуарах без плавающей крыши при горизонтальном сейсме возникает волна. При недостаточном свободном пространстве волна может выбить покрытие, что приведет к разгерметизации и выбросу продукта. В сферических и горизонтальных цилиндрических резервуарах удара волны о верхнюю часть конструкции не происходит - волна плавно набегает на стенки.

Резервуары для сейсмических районов рассчитываются на особое сочетание нагрузок, состоящее из постоянных, длительных, кратковременных и особой - сейсмической, с учетом системы коэффициентов, принятых в действующих нормах.

Расчет на прочность резервуаров (сосудов и аппаратов) из углеродистых и легированных сталей, применяемых в химической и нефтеперерабатывающей промышленности, работающих в условиях нагружения под внутренним давлением, вакуумом или внешним избыточным давлением, проводят с учетом требований норм [24].„ При этом используют номинальное допускаемое напряжение [s], определяемое соотношением

ãäå Re (èëè Rp0,2) - минимальное значение предела текучести (или условного предела текучести) при расчетной температуре; Rm - минимальное значение временного сопротивления (предела прочности) при расчетной температуре, nò, nâ - коэффициенты запаса прочности по пределу текучести и временному сопротивлению; h - поправочный коэффициент к допускаемым напряжениям.

Для рабочих условий сосудов (резервуаров) из углеродистых и низколегированных сталей принимают nò = 1,5, nâ = 2,4. Для сосудов и аппаратов групп 3, 4 по правилам «Устройства и безопасной эксплуатации сосудов, работающих под давлением» допускается принимать nâ = 2,2. Для аустенитных сталей для значения Rp0,2 принимают nò = 1,3. Коэффициент h = 1 (за исключением стальных отливок, для которых принимают h = 0,7 и, в частности для отливок, подвергающихся индивидуальному контролю неразрушающими методами, h = 0,8).

Наибольшее распространение получили цилиндрические вертикальные и горизонтальные резервуары. Горизонтальные резервуары устанавливают на опорные металлоконструкции, закрепляемые к фундаменту фундаментными болтами. Наиболее часто в расчетах деформациями резервуара пренебрегают, принимая расчетную схему - «жесткий цилиндр – податливая, упругая опорная конструкция». Максимальная сейсмическая нагрузка на опоры возникает при полном заливе емкости.

300