- •Федеральное агентство по образованию
- •Независимость аксиом Пеано.
- •Непротиворечивость системы аксиом Пеано.
- •Категоричность теории натуральных чисел.
- •Сложение натуральных чисел.
- •Свойства операции сложения на множестве натуральных чисел:
- •Умножение натуральных чисел.
- •Свойства операции умножения на множестве натуральных чисел:
- •Упорядоченность полукольца натуральных чисел.
- •Свойства отношения :
- •Понятия наибольшего и наименьшего элементов некоторого множества. Теоремы о существовании наибольшего и наименьшего элементов в подмножестве множества натуральных чисел.
- •Іі и ііі формы метода математической индукции для натуральных чисел.
- •Архимедовская расположенность полукольца натуральных чисел.
- •Лекции 3-4. Построение множества целых чисел.
- •Сложение и умножение целых чисел.
- •Кольцо целых чисел.
- •Вложение полукольца натуральных чисел в кольцо целых.
- •Строение кольца целых чисел.
- •Положительный конус и его свойства.
- •Свойства отношения :
- •Упорядоченность кольца целых чисел.
- •Три формы метода математической индукции для целых чисел.
- •Теоремы о существовании наибольшего и наименьшего элементов в подмножестве множества целых чисел.
- •Абсолютная величина целого числа и его свойства.
- •Свойства модуля:
- •Теорема о делении с остатком.
- •Архимедовская расположенность кольца целых чисел.
- •Лекции 5-6. Построение множества рациональных чисел.
- •Сложение и умножение рациональных чисел.
- •Поле рациональных чисел.
- •Вложение кольца целых чисел в поле рациональных.
- •Упорядоченность поля рациональных чисел.
- •Архимедовская расположенность поля рациональных чисел.
- •Лекция 7. Фундаментальные последовательности рациональных чисел и их свойства
- •Операции над последовательностями рациональных чисел.
- •Нулевые, положительные, отрицательные последовательности рациональных чисел.
- •Эквивалентные последовательности рациональных чисел и их свойства.
- •Лекции 8-9. Построение множества действительных чисел.
- •Поле действительных чисел.
- •Вложение поля рациональных чисел в поле действительных чисел.
- •Упорядоченность поля действительных чисел.
- •Архимедовская расположенность поля действительных чисел.
- •Теорема о сходимости любой фундаментальной последовательности рациональных чисел в поле действительных чисел.
- •Теорема о сходимости любой фундаментальной последовательности действительных чисел в поле действительных чисел.
- •Лекция 10. Поле комплексных чисел.
- •Алгебраическая форма записи комплексного числа.
- •Свойства сопряженных комплексных чисел:
- •Свойства нормы:
- •Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
- •Корни - ой степени из единицы
- •Лекция 11. Тело кватернионов.
- •Алгебраическая форма кватернионов.
- •Свойства сопряженных и нормы.
- •Геометрическая интерпретация чисто мнимых кватернионов
- •Лекция 12. Ассоциативные алгебры.
- •Теорема Фробениуса.
- •Дуальные и двойные числа (ассоциативные алгебры над полем действительных чисел размерности 2).
- •Алгебра Кэли (Неассоциативная альтернативная алгебра с делением).
Архимедовская расположенность кольца целых чисел.
Теорема 16. Кольцо целых чисел является архимедовски расположенным, т.е. выполняются следующее условие (аксиома Архимеда): , где,такое, чтоa<nb.
Доказательство.
Пусть a и b- натуральные числа. Докажем справедливость утверждения методом математической индукции по .
База индукции b=1.
.
Индуктивное предположение.
Пусть верно для , т.е..
Проверим для , т.е. (?)
Тогда .
Пусть теперь .Возможны случаи:
,
(доказано выше).
что и требовалось доказать.
Теорема 17. Кольцо целых чисел не является всюду плотным.
Доказательство.
Поскольку , ане является всюду плотным, то итакже всюду плотным не будет.
что и требовалось доказать.
Лекции 5-6. Построение множества рациональных чисел.
Рассмотрим множество , на котором введем отношениепо следующему правилу:
Теорема 1. Отношение ≈ на множестве есть отношение эквивалентности (рефлексивно, симметрично, транзитивно).
Доказательство.
Отношение рефлексивно (?)
.
Отношение симметрично (?)
.
Отношение транзитивно (?)
.
что и требовалось доказать.
Поскольку ≈ - есть отношение эквивалентности на множестве , имеют место классы эквивалентности:
.
Определение. Рациональными числами назовем элементы фактормножества .
Сложение и умножение рациональных чисел.
Определим на множестве рациональных чисел действия сложения и умножения по следующим правилам:
.
Теорема 2. Действия + и являются бинарными операциями на множестве.
Доказательство.
- бинарная операция (?)
Умножение определено , т.к. определено умножение любых целых чисел. Покажем однозначность.
- бинарная операция (?)
Сложение определено , т.к. определено сложение и умножение любых целых чисел. Покажем однозначность.
Таким образом, для того, чтобы доказать однозначность достаточно проверить равенство:
.
Поскольку в силу того, что сумма и произведение целых чисел также являются целыми числами, множество замкнуто относительно сложения и умножения.
что и требовалось доказать.
Поле рациональных чисел.
Лемма 1. .
Теорема 3. - поле.
Доказательство.
Непосредственной проверкой легко устанавливается, что сложение и умножение являются коммутативными и ассоциативными операциями, а также дистрибутивность сложения относительно умножения.
(существование 0) (?)
Покажем, что класс ,:
.
(существование 1) (?)
Покажем, что класс ,:
.
(существование противоположного) (?)
Проверим, что :
.
(существование обратного для каждого ненулевого) (?)
Проверим, что :
- обратный к .
.
что и требовалось доказать.
Вложение кольца целых чисел в поле рациональных.
Договоримся обозначать поле рациональных чисел через .
Теорема 4. Кольцо изоморфно вкладывается в поле рациональных чисел.
Доказательство.
Рассмотрим множество . Нетрудно устанавливается, чтоподполе поля, проверим только замкнутость.
замкнуто относительно сложения и умножения (?)
;
.
Рассмотрим соответствиезаданное по правилу .
Докажем, что - кольцевой изоморфизм.
- отображение (?)
Всюду определенность очевидна, поскольку для каждого целого числа можно построить класс.
Однозначность:(?)
- биекция (?)
Инъективность: (?)
.
Сюръективность: (?)
Возьмем , поскольку. В силу произвольности сюръективность доказана.
- гомоморфизм (?)
Сохранение операции сложения: (?)
.
Сохранение операции умножения: (?)
Таким образом доказано, что алгебра изоморфна подалгебреалгебры, следовательно,изоморфно вкладывается в.
что и требовалось доказать.
Замечание. Ввиду изоморфизма, который отмечен в конце доказательства, мы проведем отождествление для каждого целого числа. Ввиду этого отождествления получим(подмножество, более того, подкольцо).