- •Федеральное агентство по образованию
- •Независимость аксиом Пеано.
- •Непротиворечивость системы аксиом Пеано.
- •Категоричность теории натуральных чисел.
- •Сложение натуральных чисел.
- •Свойства операции сложения на множестве натуральных чисел:
- •Умножение натуральных чисел.
- •Свойства операции умножения на множестве натуральных чисел:
- •Упорядоченность полукольца натуральных чисел.
- •Свойства отношения :
- •Понятия наибольшего и наименьшего элементов некоторого множества. Теоремы о существовании наибольшего и наименьшего элементов в подмножестве множества натуральных чисел.
- •Іі и ііі формы метода математической индукции для натуральных чисел.
- •Архимедовская расположенность полукольца натуральных чисел.
- •Лекции 3-4. Построение множества целых чисел.
- •Сложение и умножение целых чисел.
- •Кольцо целых чисел.
- •Вложение полукольца натуральных чисел в кольцо целых.
- •Строение кольца целых чисел.
- •Положительный конус и его свойства.
- •Свойства отношения :
- •Упорядоченность кольца целых чисел.
- •Три формы метода математической индукции для целых чисел.
- •Теоремы о существовании наибольшего и наименьшего элементов в подмножестве множества целых чисел.
- •Абсолютная величина целого числа и его свойства.
- •Свойства модуля:
- •Теорема о делении с остатком.
- •Архимедовская расположенность кольца целых чисел.
- •Лекции 5-6. Построение множества рациональных чисел.
- •Сложение и умножение рациональных чисел.
- •Поле рациональных чисел.
- •Вложение кольца целых чисел в поле рациональных.
- •Упорядоченность поля рациональных чисел.
- •Архимедовская расположенность поля рациональных чисел.
- •Лекция 7. Фундаментальные последовательности рациональных чисел и их свойства
- •Операции над последовательностями рациональных чисел.
- •Нулевые, положительные, отрицательные последовательности рациональных чисел.
- •Эквивалентные последовательности рациональных чисел и их свойства.
- •Лекции 8-9. Построение множества действительных чисел.
- •Поле действительных чисел.
- •Вложение поля рациональных чисел в поле действительных чисел.
- •Упорядоченность поля действительных чисел.
- •Архимедовская расположенность поля действительных чисел.
- •Теорема о сходимости любой фундаментальной последовательности рациональных чисел в поле действительных чисел.
- •Теорема о сходимости любой фундаментальной последовательности действительных чисел в поле действительных чисел.
- •Лекция 10. Поле комплексных чисел.
- •Алгебраическая форма записи комплексного числа.
- •Свойства сопряженных комплексных чисел:
- •Свойства нормы:
- •Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
- •Корни - ой степени из единицы
- •Лекция 11. Тело кватернионов.
- •Алгебраическая форма кватернионов.
- •Свойства сопряженных и нормы.
- •Геометрическая интерпретация чисто мнимых кватернионов
- •Лекция 12. Ассоциативные алгебры.
- •Теорема Фробениуса.
- •Дуальные и двойные числа (ассоциативные алгебры над полем действительных чисел размерности 2).
- •Алгебра Кэли (Неассоциативная альтернативная алгебра с делением).
Эквивалентные последовательности рациональных чисел и их свойства.
Определение. Две фундаментальные последовательности рациональных чисел называются эквивалентными, еслиявляется нулевой последовательностью, иначе.
Теорема 5. Отношение ≈ на множестве всех фундаментальных последовательностей рациональных чисел является отношением эквивалентности.
Доказательство.
Обозначим множество всех последовательностей рациональных чисел через .
Рефлективность (?)
.
Симметричность (?)
3. Транзитивность (?)
.
что и требовалось доказать
Теорема 6. Любая подпоследовательность фундаментальной последовательности эквивалентна ей.
Доказательство.
Пусть - ф.п.р.ч.,- произвольная подпоследовательность последовательности. Тогда- монотонно возрастающая функция на множестве натуральных чисел. Покажем, что.
В силу фундаментальности последовательности имеем. Учитывая это, получим
.
что и требовалось доказать
Теорема 7. Фундаментальная последовательность рациональных чисел, эквивалентная нулевой, положительной, отрицательной является соответственно нулевой, положительной, отрицательной.
Доказательство.
Пусть и . Тогда - нулевая.
- нулевая.
- нулевая как сумма нулевых ф.п.р.ч.
- положительная.
Возьмем . Тогда получим
- положительная.
- отрицательная.
Нетрудно проверяется, что . Тогда- положительная, следовательно, согласно пункту 2 этой теоремы- положительная, а, значит,- отрицательная ф.п.р.ч.
что и требовалось доказать
Теорема 8. Отношение ≈ стабильно относительно операции сложения, умножения и взятия противоположного на множестве всех фундаментальных последовательностей рациональных чисел.
Доказательство.
Пусть . Тогдаи- нулевые ф.п.р.ч.
Отношение ≈ стабильно относительно операции сложения (?)
Поскольку сумма нулевых последовательностей является нулевой, имеем- нулевая ф.п.р.ч., а значит.
Отношение ≈ стабильно относительно операции умножения (?)
Последовательности фундаментальные, следовательно, ограниченные, предположим, числамисоответственно. Зная, чтоинулевые ф.п.р.ч. имеем
. Выберем .Тогда . Принимая во внимание выше перечисленное, оценим
. Последнее влечет, что является нулевой, а, значит,.
Отношение ≈ стабильно относительно операции взятия противоположного (?)
что и требовалось доказать
Лекции 8-9. Построение множества действительных чисел.
Поскольку ≈ - есть отношение эквивалентности на множестве , имеют место классы эквивалентности:
.
Определение. Действительными числами назовем элементы фактормножества .
Определим на множестве действительных чисел действия сложения и умножения по следующим правилам:
,
.
Теорема 1. Сложение и умножение являются бинарными операциями на множестве .
Доказательство.
Сложение и умножение определены, т.к. определены сложение и умножение любых рациональных чисел.
Согласно теореме 8, приведенной в лекциях 7, а также условию , однозначность доказана.
Поскольку в силу того, что сумма и произведение рациональных чисел также являются рациональными числами, множество замкнуто относительно сложения и умножения.
что и требовалось доказать.