- •Федеральное агентство по образованию
- •Независимость аксиом Пеано.
- •Непротиворечивость системы аксиом Пеано.
- •Категоричность теории натуральных чисел.
- •Сложение натуральных чисел.
- •Свойства операции сложения на множестве натуральных чисел:
- •Умножение натуральных чисел.
- •Свойства операции умножения на множестве натуральных чисел:
- •Упорядоченность полукольца натуральных чисел.
- •Свойства отношения :
- •Понятия наибольшего и наименьшего элементов некоторого множества. Теоремы о существовании наибольшего и наименьшего элементов в подмножестве множества натуральных чисел.
- •Іі и ііі формы метода математической индукции для натуральных чисел.
- •Архимедовская расположенность полукольца натуральных чисел.
- •Лекции 3-4. Построение множества целых чисел.
- •Сложение и умножение целых чисел.
- •Кольцо целых чисел.
- •Вложение полукольца натуральных чисел в кольцо целых.
- •Строение кольца целых чисел.
- •Положительный конус и его свойства.
- •Свойства отношения :
- •Упорядоченность кольца целых чисел.
- •Три формы метода математической индукции для целых чисел.
- •Теоремы о существовании наибольшего и наименьшего элементов в подмножестве множества целых чисел.
- •Абсолютная величина целого числа и его свойства.
- •Свойства модуля:
- •Теорема о делении с остатком.
- •Архимедовская расположенность кольца целых чисел.
- •Лекции 5-6. Построение множества рациональных чисел.
- •Сложение и умножение рациональных чисел.
- •Поле рациональных чисел.
- •Вложение кольца целых чисел в поле рациональных.
- •Упорядоченность поля рациональных чисел.
- •Архимедовская расположенность поля рациональных чисел.
- •Лекция 7. Фундаментальные последовательности рациональных чисел и их свойства
- •Операции над последовательностями рациональных чисел.
- •Нулевые, положительные, отрицательные последовательности рациональных чисел.
- •Эквивалентные последовательности рациональных чисел и их свойства.
- •Лекции 8-9. Построение множества действительных чисел.
- •Поле действительных чисел.
- •Вложение поля рациональных чисел в поле действительных чисел.
- •Упорядоченность поля действительных чисел.
- •Архимедовская расположенность поля действительных чисел.
- •Теорема о сходимости любой фундаментальной последовательности рациональных чисел в поле действительных чисел.
- •Теорема о сходимости любой фундаментальной последовательности действительных чисел в поле действительных чисел.
- •Лекция 10. Поле комплексных чисел.
- •Алгебраическая форма записи комплексного числа.
- •Свойства сопряженных комплексных чисел:
- •Свойства нормы:
- •Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
- •Корни - ой степени из единицы
- •Лекция 11. Тело кватернионов.
- •Алгебраическая форма кватернионов.
- •Свойства сопряженных и нормы.
- •Геометрическая интерпретация чисто мнимых кватернионов
- •Лекция 12. Ассоциативные алгебры.
- •Теорема Фробениуса.
- •Дуальные и двойные числа (ассоциативные алгебры над полем действительных чисел размерности 2).
- •Алгебра Кэли (Неассоциативная альтернативная алгебра с делением).
Архимедовская расположенность поля действительных чисел.
Теорема 5. Поле действительных чисел архимедовски расположенное, т.е. выполняется аксиома Архимеда: .
Доказательство.
Пусть . Последнее означает, что
- положительная, следовательно, .
- ф.п.р.ч., следовательно, - ограниченная, тогда следовательно,. Поскольку поле рациональных чисел архимедовски расположенное,.
.
что и требовалось доказать.
Теорема 6. Поле действительных чисел является всюду плотным.
Доказательство.
Пусть . Для определенности положим, что. Тогда- положительная, следовательно,. Поскольку,- ф.п.р.ч, имеем
. Возьмем . Учитывая выше изложенное, получим
что и требовалось доказать.
Теорема о сходимости любой фундаментальной последовательности рациональных чисел в поле действительных чисел.
Теорема 7. т.т.т., к., иными словами всякая фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится в поле действительных чисел.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть . Возьмемтакое, что, где(в силу фундаментальности последовательности). Тогда. Согласнолеммам 1, 2, имеем, что , следовательно,. Таким образом,.
Достаточность.
Пусть . Покажем, что- ф.п.р.ч.
. Поскольку между действительными числами инайдется положительной рациональное число. Тогда. Оценим, где:
. Таким образом, последовательность рациональных чисел фундаментальна, а, значит, порождает некоторый класс эквивалентности. Остается доказать, что. Возможны случаи:
1. .
Последнее противоречит условию , следовательно, данный случай невозможен.
2. .
Последнее противоречит условию , следовательно, данный случай невозможен.
3. . Единственно возможный случай.
что и требовалось доказать.
Следствие. Для того, чтобы последовательность рациональных чисел имела в поле действительных чисел предел необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Теорема о сходимости любой фундаментальной последовательности действительных чисел в поле действительных чисел.
Теорема 8. Любая фундаментальная последовательность действительных чисел сходится в поле действительных чисел.
Доказательство.
Пусть - ф.п.д.ч., где :
Рассмотрим последовательность . Покажем, что она фундаментальна.
Последнее неравенство влечет фундаментальность последовательностей вида при фиксированном. Оценим теперь:
. Таким образом, последовательность фундаментальна. Докажем, чтои есть предел последовательности. Пусть.
Последнее неравенство доказывает, что .
что и требовалось доказать.
Лекция 10. Поле комплексных чисел.
Возможны различные подходы к определению поля комплексных чисел.
Один из возможных заключается в следующем:
Определение. Полем комплексных чисел называется алгебраическое расширение поля действительных чисел, иначе, поле комплексных чисел наименьшее из полей, содержащее все алгебраические элементы над полем действительных чисел (т.е. все корни многочленов с действительными коэффициентами).
В этом случае , где- корень многочлена.
Другой подход основан на построении поля комплексных чисел как подкольца кольца квадратных матриц второго порядка над полем действительных чисел.
Рассмотрим множество .- кольцо. В этом кольце выбирается подмножество.
Теорема 1. - поле.
Доказательство.
Проверим, что подкольцо кольца, а, следовательно, само образует кольцо.
.
Нетрудно устанавливается, что в умножение коммутативно и ассоциативно.
Остается покакать, что в каждый ненулевой элемент обратим.
Пусть - обратима в. Тогда.
Таким образом, - поле.
что и требовалось доказать.
Теорема 2. Поле действительных чисел изоморфно вкладывается в поле комплексных.
Доказательство.
Рассмотрим соответствие по правилудля всех.
Очевидно, что - всюдуопределено и однозначно, а, следовательно,- отображение.
- инъективное отображение.
Покажем, что - гомоморфизм.
Таким образом, - инъективный гомоморфизм, а, значит,изоморфно вкладывается в.
что и требовалось доказать.