- •Федеральное агентство по образованию
- •Независимость аксиом Пеано.
- •Непротиворечивость системы аксиом Пеано.
- •Категоричность теории натуральных чисел.
- •Сложение натуральных чисел.
- •Свойства операции сложения на множестве натуральных чисел:
- •Умножение натуральных чисел.
- •Свойства операции умножения на множестве натуральных чисел:
- •Упорядоченность полукольца натуральных чисел.
- •Свойства отношения :
- •Понятия наибольшего и наименьшего элементов некоторого множества. Теоремы о существовании наибольшего и наименьшего элементов в подмножестве множества натуральных чисел.
- •Іі и ііі формы метода математической индукции для натуральных чисел.
- •Архимедовская расположенность полукольца натуральных чисел.
- •Лекции 3-4. Построение множества целых чисел.
- •Сложение и умножение целых чисел.
- •Кольцо целых чисел.
- •Вложение полукольца натуральных чисел в кольцо целых.
- •Строение кольца целых чисел.
- •Положительный конус и его свойства.
- •Свойства отношения :
- •Упорядоченность кольца целых чисел.
- •Три формы метода математической индукции для целых чисел.
- •Теоремы о существовании наибольшего и наименьшего элементов в подмножестве множества целых чисел.
- •Абсолютная величина целого числа и его свойства.
- •Свойства модуля:
- •Теорема о делении с остатком.
- •Архимедовская расположенность кольца целых чисел.
- •Лекции 5-6. Построение множества рациональных чисел.
- •Сложение и умножение рациональных чисел.
- •Поле рациональных чисел.
- •Вложение кольца целых чисел в поле рациональных.
- •Упорядоченность поля рациональных чисел.
- •Архимедовская расположенность поля рациональных чисел.
- •Лекция 7. Фундаментальные последовательности рациональных чисел и их свойства
- •Операции над последовательностями рациональных чисел.
- •Нулевые, положительные, отрицательные последовательности рациональных чисел.
- •Эквивалентные последовательности рациональных чисел и их свойства.
- •Лекции 8-9. Построение множества действительных чисел.
- •Поле действительных чисел.
- •Вложение поля рациональных чисел в поле действительных чисел.
- •Упорядоченность поля действительных чисел.
- •Архимедовская расположенность поля действительных чисел.
- •Теорема о сходимости любой фундаментальной последовательности рациональных чисел в поле действительных чисел.
- •Теорема о сходимости любой фундаментальной последовательности действительных чисел в поле действительных чисел.
- •Лекция 10. Поле комплексных чисел.
- •Алгебраическая форма записи комплексного числа.
- •Свойства сопряженных комплексных чисел:
- •Свойства нормы:
- •Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
- •Корни - ой степени из единицы
- •Лекция 11. Тело кватернионов.
- •Алгебраическая форма кватернионов.
- •Свойства сопряженных и нормы.
- •Геометрическая интерпретация чисто мнимых кватернионов
- •Лекция 12. Ассоциативные алгебры.
- •Теорема Фробениуса.
- •Дуальные и двойные числа (ассоциативные алгебры над полем действительных чисел размерности 2).
- •Алгебра Кэли (Неассоциативная альтернативная алгебра с делением).
Лекции 3-4. Построение множества целых чисел.
Рассмотрим множество (декартов квадрат множества натуральных чисел).
На множестве введем отношение по следующему правилу:
.
Теорема 1. Отношение на множестве есть отношение эквивалентности (рефлексивно, симметрично, транзитивно).
Доказательство.
Отношение рефлексивно (?)
.
Отношение симметрично (?)
.
Отношение транзитивно (?)
.
что и требовалось доказать.
Поскольку отношение является отношением эквивалентности, имеют место классы эквивалентности:
.
Определение. Целыми числами назовем элементы фактормножества .
Сложение и умножение целых чисел.
Определим на множестве целых чисел действия сложения и умножения по следующим правилам:
.
Теорема 2. Действия сложения и умножения целых чисел являются бинарными операциями на фактормножестве .
Доказательство.
- бинарная операция (?)
Сложение определено , т.к. определено сложение любых натуральных чисел. Покажем однозначность.
.
- бинарная операция (?)
Умножение определено , т.к. определено сложение и умножение любых натуральных чисел. Покажем однозначность.
.
Поскольку в силу того, что сумма и произведение натуральных чисел также являются натуральными числами, множество замкнуто относительно сложения и умножения.
что и требовалось доказать.
Кольцо целых чисел.
Теорема 3. - целостное кольцо, т.е. коммутативное кольцо с единицей, не содержащее делителей нуля.
Доказательство.
Проверим аксиомы кольца.
1) (ассоциативность +) (?)
.
2) (коммутативность +) (?)
.
3) (существование 0) (?)
, где - произвольное натуральное число.
4) (существование противоположного) (?)
.
5) (ассоциативность ) (?)
6) (коммутативность) (?)
.
7) (существование 1) (?)
, где - произвольное натуральное число.
8) (дистрибутивность) (?)
9) (отсутствие делителей 0) (?)
, где - произвольное натуральное число, в силу произвольности. Таким образом,.
что и требовалось доказать.
Вложение полукольца натуральных чисел в кольцо целых.
Договоримся обозначать множество целых чисел через .
Теорема 4. Полукольцо натуральных чисел изоморфно вкладывается в кольцо целых чисел.
Доказательство.
Рассмотрим множество . Покажем, чтоподалгебра алгебры.
замкнуто относительно сложения и умножения (?)
Рассмотрим соответствиезаданное по правилу .
- отображение (?)
Всюду определенность очевидна, поскольку для каждого натурального числа можно построить класс.
Однозначность:(?)
ъ
- биекция (?)
Инъективность: (?)
.
Сюръективность: (?)
Возьмем , поскольку. В силу произвольности сюръективность доказана.
- гомоморфизм (?)
Сохранение операции сложения: (?)
Сохранение операции умножения: (?)
Таким образом доказано, что алгебра изоморфна подалгебреалгебры, следовательно,изоморфно вкладывается в.
что и требовалось доказать.
Замечание. Поскольку полукольцо натуральных чисел вкладываются в кольцо целых чисел, то отождествим элементы и, т.е. будем считать их (тождественно) равными. Ввиду этого отождествления получим.
Строение кольца целых чисел.
Теорема 5. ,где
Доказательство.
Очевидно, что . Покажем обратное включение.
Возьмем произвольное целое число . Тогда возможен один из следующих случаев:
1.;
2. ;
3. ;
.
что и требовалось доказать.
Теорема 6. Кольцо целых чисел единственное.
(без доказательства)
Замечание. Теорема 6 доказывает категоричность системы целых чисел.