- •Федеральное агентство по образованию
- •Независимость аксиом Пеано.
- •Непротиворечивость системы аксиом Пеано.
- •Категоричность теории натуральных чисел.
- •Сложение натуральных чисел.
- •Свойства операции сложения на множестве натуральных чисел:
- •Умножение натуральных чисел.
- •Свойства операции умножения на множестве натуральных чисел:
- •Упорядоченность полукольца натуральных чисел.
- •Свойства отношения :
- •Понятия наибольшего и наименьшего элементов некоторого множества. Теоремы о существовании наибольшего и наименьшего элементов в подмножестве множества натуральных чисел.
- •Іі и ііі формы метода математической индукции для натуральных чисел.
- •Архимедовская расположенность полукольца натуральных чисел.
- •Лекции 3-4. Построение множества целых чисел.
- •Сложение и умножение целых чисел.
- •Кольцо целых чисел.
- •Вложение полукольца натуральных чисел в кольцо целых.
- •Строение кольца целых чисел.
- •Положительный конус и его свойства.
- •Свойства отношения :
- •Упорядоченность кольца целых чисел.
- •Три формы метода математической индукции для целых чисел.
- •Теоремы о существовании наибольшего и наименьшего элементов в подмножестве множества целых чисел.
- •Абсолютная величина целого числа и его свойства.
- •Свойства модуля:
- •Теорема о делении с остатком.
- •Архимедовская расположенность кольца целых чисел.
- •Лекции 5-6. Построение множества рациональных чисел.
- •Сложение и умножение рациональных чисел.
- •Поле рациональных чисел.
- •Вложение кольца целых чисел в поле рациональных.
- •Упорядоченность поля рациональных чисел.
- •Архимедовская расположенность поля рациональных чисел.
- •Лекция 7. Фундаментальные последовательности рациональных чисел и их свойства
- •Операции над последовательностями рациональных чисел.
- •Нулевые, положительные, отрицательные последовательности рациональных чисел.
- •Эквивалентные последовательности рациональных чисел и их свойства.
- •Лекции 8-9. Построение множества действительных чисел.
- •Поле действительных чисел.
- •Вложение поля рациональных чисел в поле действительных чисел.
- •Упорядоченность поля действительных чисел.
- •Архимедовская расположенность поля действительных чисел.
- •Теорема о сходимости любой фундаментальной последовательности рациональных чисел в поле действительных чисел.
- •Теорема о сходимости любой фундаментальной последовательности действительных чисел в поле действительных чисел.
- •Лекция 10. Поле комплексных чисел.
- •Алгебраическая форма записи комплексного числа.
- •Свойства сопряженных комплексных чисел:
- •Свойства нормы:
- •Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
- •Корни - ой степени из единицы
- •Лекция 11. Тело кватернионов.
- •Алгебраическая форма кватернионов.
- •Свойства сопряженных и нормы.
- •Геометрическая интерпретация чисто мнимых кватернионов
- •Лекция 12. Ассоциативные алгебры.
- •Теорема Фробениуса.
- •Дуальные и двойные числа (ассоциативные алгебры над полем действительных чисел размерности 2).
- •Алгебра Кэли (Неассоциативная альтернативная алгебра с делением).
Понятия наибольшего и наименьшего элементов некоторого множества. Теоремы о существовании наибольшего и наименьшего элементов в подмножестве множества натуральных чисел.
Определение. Наибольшим элементом непустого подмножества линейно упорядоченного множестваназывается элементтакой, что.
Определение. Наименьшим элементом непустого подмножества линейно упорядоченного множестваназывается элементтакой, что.
Теорема 7. Любое непустое подмножество множества натуральных чисел имеет наименьший элемент.
Доказательство.
Возможны случаи:
- наименьший элемент подмножества;
. Рассмотрим множество ., т.к.
. . Такой элементобязательно найдется, т.к. в противном случае. Покажем, чтонаименьший в.. Предположим, что. Тогда. Последнее противоречит условию , следовательно, предположение неверно. Тогдатакой, что. Таким образом, - наименьший в.
что и требовалось доказать.
Теорема 8. Любое непустое ограниченное сверху подмножество множества натуральных чисел имеет наибольший элемент.
Доказательство.
Пусть ограничено сверху элементом, т.е.. Рассмотрим множество., т.к.. Тогда, по теореме 3,имеет наименьший элемент, причем, т. к. в противном случае. По следствию 4) из аксиом Пеано,. Предположим, что, следовательно,. Последнее противоречит тому, что - наименьший в, а, значит, предположение неверно. Тогда. Таким образом,- наибольший в.
что и требовалось доказать.
Іі и ііі формы метода математической индукции для натуральных чисел.
Теорема 9 (ІІ форма): Если утверждение о натуральных числах верно для 1 и для произвольного натурального числа, большего 1, из верности утверждениядля всех натуральных чисел, меньших, следует верность утверждения для числа, то утверждение верно для каждого натурального числа.
Доказательство.
Предположим, что . Рассмотрим множество., т.к.. Тогда, по теореме 3,имеет наименьший элемент, причем,. По следствию 4) из аксиом Пеано,, причем., т.к. в противном случае,не будет наименьшим в. Тогда, согласно индуктивному предположению,, но это противоречит условию. Таким образом, предположение неверно, и.
что и требовалось доказать.
Теорема 10 (ІІІ форма): Если утверждение о натуральных числах верно для всех чисел некоторого непустого неограниченного сверху подмножества множества натуральных чисел и из верности утверждениядля произвольного натурального числаследует верность утверждения для натурального числа, то утверждение верно для каждого натурального числа.
Доказательство.
Предположим, что . Рассмотрим множество., т.к.. Такжеограничено сверху любым элементом из. Тогда, по теореме 4,имеет наибольший элемент, причем. Рассмотрим элемент., т.к. в противном случае,не будет наибольшим в. Согласно индуктивному предположению,, но это противоречит условию. Таким образом, предположение неверно, и.
что и требовалось доказать.
Архимедовская расположенность полукольца натуральных чисел.
Теорема 11. Полукольцо натуральных чисел является архимедовски расположенным, т.е. выполняются следующее условие (аксиома Архимеда): для любых натуральных чисел a,b a<nb для некоторого натурального n.
Доказательство.
.
что и требовалось доказать.
Теорема 12. Полукольцо натуральных чисел не является всюду плотным.
Доказательство.
Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что натуральные числа иявляются соседними. Предположим обратное: пустьтакое, что. Тогда. Последнее противоречит условию. Следовательно, предположение неверно.
что и требовалось доказать.