Теоремы о существовании наибольшего и наименьшего элементов в подмножестве множества целых чисел.

Теорема 13. Любое непустое ограниченное снизу подмножество множества целых чисел имеет наименьший элемент.

Доказательство.

Пусть В ограничено снизу элементом т.е... Рассмотрим множество., т.к... Такой элементобязательно найдется, т.к. в противном случае. Покажем, чтонаименьший в.. Предположим, что. Тогда. Последнее противоречит условию , следовательно, предположение неверно. Тогдатакой, что. Таким образом, - наименьший в.

что и требовалось доказать.

Теорема 14. Любое непустое ограниченное сверху подмножество множества целых чисел имеет наибольший элемент.

Доказательство.

Пусть ограничено сверху элементом, т.е.. Рассмотрим множество., т.к.. Тогдаограничено снизу любым элементом из, следовательно, по теореме 13, имеет наименьший элемент. Покажем, что элементтакой, что, является наибольшим в. Предположим, что, следовательно,. Последнее противоречит тому, что - наименьший в, а, значит, предположение неверно. Тогдатакой, что. Таким образом, - наибольший в.

что и требовалось доказать.

Абсолютная величина целого числа и его свойства.

Определение. Абсолютной величиной (или модулем) целого числа a называется число .

Замечание. Данное определение корректно, поскольку множество {a,-a} – ограничено, следовательно, есть наибольшее.

Свойства модуля:

(доказательство самостоятельно)

Доказательство.

Свойства 1 и 2 следуют из определения.

Свойство 3. Для доказательства равенства рассмотрим все возможные случаи:

1) . Из этих соотношений получаем:

.

2) . Отсюда имеем:.

3) . Отсюда получаем:.

4). Отсюда следует:.

Таким образом, во всех возможных случаях выполняется равенство .

Свойство 4. Из иполучаем:.

Из иполучаем:..

В обоих возможных случаях имеем: .

Свойство 5. Из следует соотношение.

что и требовалось доказать.

Теорема о делении с остатком.

Теорема 15. ,где b≠0, существует и при том единственная пара целых чисел такая, что. назовем остатком при деленииa на b, q – неполным частным.

Доказательство.

Существование (?)

Проведем методом математической индукции в 3-ей форме.

1. База индукции.

Рассмотрим множество . Очевидно, это множество непустое и не ограничено сверху. Для любого элементаВ верна теорема о делении с остатком в разделе существования, поскольку b≠0, bn=bn+0, где, 0≤<.

2. Индуктивное предположение.

Предположим, что для произвольного целого числа z данная теорема справедлива, т.е.z = bq+r, где 0≤r<.

3. Проверим справедливость данного утверждения для числа z – 1.

z = bq+rbq+(r–1), где 0≤r<.

Рассмотрим возможные случаи:

, где - неполное частное,- остаток, причем0≤<.

. Тогда q, r–1 – искомая пара чисел для и.

Существование доказано.

Единственность (?)

Методом от противного. Пусть . Тогда. Учитывая, что, рассмотрим следующие случаи:

1. .

2. . Тогда- противоречие. Следовательно, такой случай невозможен.

3. . Невозможен, доказательство аналогично 2.

Таким образом, из трех случаев возможен только один . Единственность доказана.

что и требовалось доказать.