- •Федеральное агентство по образованию
- •Независимость аксиом Пеано.
- •Непротиворечивость системы аксиом Пеано.
- •Категоричность теории натуральных чисел.
- •Сложение натуральных чисел.
- •Свойства операции сложения на множестве натуральных чисел:
- •Умножение натуральных чисел.
- •Свойства операции умножения на множестве натуральных чисел:
- •Упорядоченность полукольца натуральных чисел.
- •Свойства отношения :
- •Понятия наибольшего и наименьшего элементов некоторого множества. Теоремы о существовании наибольшего и наименьшего элементов в подмножестве множества натуральных чисел.
- •Іі и ііі формы метода математической индукции для натуральных чисел.
- •Архимедовская расположенность полукольца натуральных чисел.
- •Лекции 3-4. Построение множества целых чисел.
- •Сложение и умножение целых чисел.
- •Кольцо целых чисел.
- •Вложение полукольца натуральных чисел в кольцо целых.
- •Строение кольца целых чисел.
- •Положительный конус и его свойства.
- •Свойства отношения :
- •Упорядоченность кольца целых чисел.
- •Три формы метода математической индукции для целых чисел.
- •Теоремы о существовании наибольшего и наименьшего элементов в подмножестве множества целых чисел.
- •Абсолютная величина целого числа и его свойства.
- •Свойства модуля:
- •Теорема о делении с остатком.
- •Архимедовская расположенность кольца целых чисел.
- •Лекции 5-6. Построение множества рациональных чисел.
- •Сложение и умножение рациональных чисел.
- •Поле рациональных чисел.
- •Вложение кольца целых чисел в поле рациональных.
- •Упорядоченность поля рациональных чисел.
- •Архимедовская расположенность поля рациональных чисел.
- •Лекция 7. Фундаментальные последовательности рациональных чисел и их свойства
- •Операции над последовательностями рациональных чисел.
- •Нулевые, положительные, отрицательные последовательности рациональных чисел.
- •Эквивалентные последовательности рациональных чисел и их свойства.
- •Лекции 8-9. Построение множества действительных чисел.
- •Поле действительных чисел.
- •Вложение поля рациональных чисел в поле действительных чисел.
- •Упорядоченность поля действительных чисел.
- •Архимедовская расположенность поля действительных чисел.
- •Теорема о сходимости любой фундаментальной последовательности рациональных чисел в поле действительных чисел.
- •Теорема о сходимости любой фундаментальной последовательности действительных чисел в поле действительных чисел.
- •Лекция 10. Поле комплексных чисел.
- •Алгебраическая форма записи комплексного числа.
- •Свойства сопряженных комплексных чисел:
- •Свойства нормы:
- •Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
- •Корни - ой степени из единицы
- •Лекция 11. Тело кватернионов.
- •Алгебраическая форма кватернионов.
- •Свойства сопряженных и нормы.
- •Геометрическая интерпретация чисто мнимых кватернионов
- •Лекция 12. Ассоциативные алгебры.
- •Теорема Фробениуса.
- •Дуальные и двойные числа (ассоциативные алгебры над полем действительных чисел размерности 2).
- •Алгебра Кэли (Неассоциативная альтернативная алгебра с делением).
Лекция 11. Тело кватернионов.
Открыл Уильям Роуан Гамильтон (ирландец) 1805-1865.
Определение. Ненулевое кольцо с единицей, в котором каждый элемент, отличный от нуля, обратим, называется телом.
Рассмотрим множество матриц:
,
где - множество квадратных матриц с коэффициентами из поля комплексных чисел.
Теорема 1. тело.
Доказательство.
Покажем, что - подкольцо кольца, используя признак подкольца:
.
- кольцо с единицей (?)
Элемент является нейтральным элементом по сложению, поскольку.
Проверим, что любой ненулевой элемент кольца обратим:
или .. Из последнего следует, что любая ненулевая матрица невырожденная, следовательно, она обратима в кольце . Найдем обратную:
.
что и требовалось доказать.
Определение. Тело назовем телом кватернионов, а его элементы кватернионами.
Теорема 2. Поле комплексных чисел изоморфно вкладывается в тело кватернионов.
Доказательство.
Рассмотрим соответствие , заданное по правилу.
Докажем, что - изоморфизм.
- отображение (?)
Всюду определенность очевидна, поскольку для каждого комплексного числа можно построить матрицу.
Однозначность:(?)
.
- биекция (?)
Инъективность: (?)
.
Сюръективность: (?)
Возьмем , поскольку. В силу произвольности сюръективность доказана.
- гомоморфизм (?)
.
что и требовалось доказать.
Замечание. Ввиду изоморфизма, который отмечен в конце доказательства, мы проведем отождествление кватерниона с комплексным числом .Ввиду этого отождествления получим (подмножество, более того, подтело).
Алгебраическая форма кватернионов.
Определение. Пусть , где,. Тогда
- алгебраическая форма кватерниона, где и ,, . Таким образом, каждому кватерниону можно поставить в соответствие упорядоченный набор их 4-х элементов:
Нетрудно заметить следующее:
.
Более того, если рассматривать тело как векторное пространство над полем, то каждый кватернион есть вектор с координатами . Тогда следующие кватернионы образуют базис:
1=(1,0,0,0) - действительная единица
i=(0,1,0,0)
j=(0,0,1,0)
k=(0,0,1,0).
Определение. Кватернионы i, j, k называются мнимыми кватернионами тела кватернионов.
Замечание. Тело кватернионов не является полем, поскольку не коммутативно, что и подтверждает следующая таблица умножения базисных кватернионов:
1\2 |
1 |
i |
j |
k |
1 |
1 |
i |
j |
k |
i |
i |
-1 |
k |
-j |
j |
j |
-k |
-1 |
i |
k |
k |
j |
-i |
-1 |
Для того, чтобы перемножить два кватерниона в алгебраической форме, необходимо воспользоваться правилом умножения сумм, учитывая некоммутативность , используя таблицу умножения базисных кватернионов, а затем привести подобные.
Определение. Сопряженным к кватерниону называется кватернион.
Следствие. .
Определение. Нормой кватерниона называется.
Следствие 1. , где,.
Следствие 2. Если , то.
Свойства сопряженных и нормы.
Теорема 3. Для любых кватернионов исправедливы следующие свойства:
;
;
;
;
;
;
;
Если , то.
Доказательство.
Пусть и.
.
.
.
, .
Аналогично 5.
.
что и требовалось доказать.