Свойства операции умножения на множестве натуральных чисел:

1) .

Доказательство.

.

2) .

Доказательство.

.

3) (дистрибутивность).

Доказательство.

Проведем методом математической индукции в І форме для натуральных чисел по .

База индукции :

.

Индуктивное предположение :

Покажем справедливость утверждения для :

(?)

.

4) (ассоциативность).

Доказательство.

Проведем методом математической индукции в І форме для натуральных чисел по .

База индукции :

.

Индуктивное предположение :

Покажем справедливость утверждения для :

(?)

.

5) (коммутативность).

Доказательство.

Проведем методом математической индукции в І форме для натуральных чисел по .

База индукции :

.

Индуктивное предположение :

Покажем справедливость утверждения для :

(?)

.

6) (закон сокращения).

Доказательство. см 8) свойство отношения на.

Упорядоченность полукольца натуральных чисел.

На множестве натуральных чисел определим бинарное отношение по следующему правилу:

Теорема 3. Отношение на множестве натуральных чисел является строгим линейным порядком.

Доказательство.

Отношение- порядок на(?)

(антисимметричность) (?)

. Возможны случаи:

• ;

• .

В обоих случаях получили противоречие с 1 аксиомой Пеано, следовательно, посылка импликации ложна, а, значит, сама импликация истинна.

(транзитивность) (?)

.

Порядок- строгий (?)

(антирефлексивность) (?)

Предположим, что . Возможны случаи:

• ;

• .

В обоих случаях получили противоречие с 1 аксиомой Пеано, следовательно, предположение неверно.

Порядок- линейный (?)

(линейность) (?)

Доказательство проведем методом математической индукции в І форме для натуральных чисел по .

База индукции :

Возможны случаи:

• ;

• .

В обоих случаях дизъюнкция оказалась истинной.

Индуктивное предположение :

Покажем справедливость утверждения для :

(?)

Возможны случаи:

• ;

• . Возможны случаи:

• ,

• ;

• .

что и требовалось доказать.

Свойства отношения :

1) .

Доказательство.

.

2) .

Доказательство.

.

3) .

Доказательство.

.

4) .

Доказательство.

.

5) .

Доказательство.

.

6) .

Доказательство.

.

7) .

Доказательство.

возможны случаи:

• противоречие с условием ;

• противоречие с условием ;

• .

Методом исключения получаем, что .

8) .

Доказательство.

Предположим, что . Тогда возможны случаи:

• ;

• .

В обоих случаях получено противоречие с условием , следовательно, предположение неверно.

Определение. Универсальная алгебра называется полукольцом, если бинарные операции + иудовлетворяет следующим условиям:

1.;

2. ;;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

Теорема 4. -полукольцо.

Доказательство.

Сложение и умножение - операции на множестве натуральных чисел (теоремы 1,2). Доказательство аксиом полукольца смотри свойства указанных опреаций.

что и требовалось доказать.

Определим на множестве натуральных чисел бинарное отношение по следующему правилу:

.

Теорема 5. Отношение на множестве натуральных чисел является линейным порядком(рефлексивно, антисимметрично, транзитивно, линейно).

(доказательство самостоятельно).

Определение. Множество называется линейно упорядоченным, если на нем задано бинарное отношение линейного порядка.

Определение. Полукольцо называется линейно упорядоченным, если множестволинейно упорядочено.

Теорема 6. Полукольцо натуральных чисел линейно упорядочено.

Доказательство.

Следует из теоремы 6.