- •Федеральное агентство по образованию
- •Независимость аксиом Пеано.
- •Непротиворечивость системы аксиом Пеано.
- •Категоричность теории натуральных чисел.
- •Сложение натуральных чисел.
- •Свойства операции сложения на множестве натуральных чисел:
- •Умножение натуральных чисел.
- •Свойства операции умножения на множестве натуральных чисел:
- •Упорядоченность полукольца натуральных чисел.
- •Свойства отношения :
- •Понятия наибольшего и наименьшего элементов некоторого множества. Теоремы о существовании наибольшего и наименьшего элементов в подмножестве множества натуральных чисел.
- •Іі и ііі формы метода математической индукции для натуральных чисел.
- •Архимедовская расположенность полукольца натуральных чисел.
- •Лекции 3-4. Построение множества целых чисел.
- •Сложение и умножение целых чисел.
- •Кольцо целых чисел.
- •Вложение полукольца натуральных чисел в кольцо целых.
- •Строение кольца целых чисел.
- •Положительный конус и его свойства.
- •Свойства отношения :
- •Упорядоченность кольца целых чисел.
- •Три формы метода математической индукции для целых чисел.
- •Теоремы о существовании наибольшего и наименьшего элементов в подмножестве множества целых чисел.
- •Абсолютная величина целого числа и его свойства.
- •Свойства модуля:
- •Теорема о делении с остатком.
- •Архимедовская расположенность кольца целых чисел.
- •Лекции 5-6. Построение множества рациональных чисел.
- •Сложение и умножение рациональных чисел.
- •Поле рациональных чисел.
- •Вложение кольца целых чисел в поле рациональных.
- •Упорядоченность поля рациональных чисел.
- •Архимедовская расположенность поля рациональных чисел.
- •Лекция 7. Фундаментальные последовательности рациональных чисел и их свойства
- •Операции над последовательностями рациональных чисел.
- •Нулевые, положительные, отрицательные последовательности рациональных чисел.
- •Эквивалентные последовательности рациональных чисел и их свойства.
- •Лекции 8-9. Построение множества действительных чисел.
- •Поле действительных чисел.
- •Вложение поля рациональных чисел в поле действительных чисел.
- •Упорядоченность поля действительных чисел.
- •Архимедовская расположенность поля действительных чисел.
- •Теорема о сходимости любой фундаментальной последовательности рациональных чисел в поле действительных чисел.
- •Теорема о сходимости любой фундаментальной последовательности действительных чисел в поле действительных чисел.
- •Лекция 10. Поле комплексных чисел.
- •Алгебраическая форма записи комплексного числа.
- •Свойства сопряженных комплексных чисел:
- •Свойства нормы:
- •Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
- •Корни - ой степени из единицы
- •Лекция 11. Тело кватернионов.
- •Алгебраическая форма кватернионов.
- •Свойства сопряженных и нормы.
- •Геометрическая интерпретация чисто мнимых кватернионов
- •Лекция 12. Ассоциативные алгебры.
- •Теорема Фробениуса.
- •Дуальные и двойные числа (ассоциативные алгебры над полем действительных чисел размерности 2).
- •Алгебра Кэли (Неассоциативная альтернативная алгебра с делением).
Алгебраическая форма записи комплексного числа.
,
где .
Определение. - алгебраическая форма записи комплексного числа, причем единственная.
Предложение 1. для любого.
Определим действия сложения и умножения на множестве комплексных чисел, заданных в алгебраической форме:
Определение. Сопряженным к комплексному числу называется комплексное число.
Свойства сопряженных комплексных чисел:
1. ;
2. ;
3. ;
4. т.т.т.,к.;
5. для любого.
Определение. Нормой комплексного числа называется число.
Замечание. .
Свойства нормы:
1. ;
2. т.т.т.,к.;
3. ;
4. если , то.
Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
Пусть .
Каждому комплексному числу ставится в соответствие точкав прямоугольной системе координат.
Если и, то. При этом.
Тригонометрическая форма записи комплексного числа возникает из геометрической интерпретации. Так, каждой точке можно поставить в соответствие радиус-вектор, который определяется длинойи направлением – угломотклонения от положительного направления оси.
Замечание. ,,.
Таким образом . Последняя запись и есть тригонометрическая форма записи комплексного числа.
Предложение 2. Если , тодля каждого.
Доказательство.
Пусть ,. Тогда
. Последнее равенство и дает основание утверждать справедливость данной теоремы.
что и требовалось доказать.
Замечание. .
Корни - ой степени из единицы
Определение. Комплексное число называется корнем- ой степени из единицы, где, если.
Вычислим все корни - ой степени из единицы. Пусть. Зная, что, составим систему:. Тогдаи любой корень- ой степени из единицы будет иметь вид:.
Покажем, что существует ровно различных корней- ой степени из единицы. Для этого поделимнас остатком, получим, где. Следовательно,. Посколькуможет принимать только одно иззначений, то и различных корней- ой степени из единицы также будет ровноштук, причем, где.
Теорема 3. Корни - ой степени из единицы образуют мультипликативную циклическую группу.
Доказательство.
Пусть - всех корней- ой степени из единицы. Очевидно, что. Тогдазамкнуто относительно умножения.
Операция умножения во множестве ассоциативна;- нейтральный элемент в;.
Таким образом, группа, в которой элементявляется порождающим, так как, следовательно,- мультипликативная циклическая группа.
что и требовалось доказать.
Определение. Комплексное число называется корнем- ой степени из ненулевого комплексного числа, где, если.
Вычислим все корни - ой степени из комплексного числа. Пусть,. Зная, что, составим систему:. Тогдаи любой корень- ой степени из комплексного числабудет иметь вид:.
Покажем, что существует ровно различных корней- ой степени из комплексного числа. Для этого поделимнас остатком, получим, где. Следовательно,
. Поскольку может принимать только одно иззначений, то и различных корней- ой степени из комплексного числатакже будет ровноштук, причем, где.
Замечание. Для каждого справедливо
.
Следствие. Все корни - ой степени из ненулевого комплексного числаявляются результатом умножения одного из этих корней на корни- ой степени из единицы.
Пример. Найти все корни 3 – ей степени из -8.
Очевидно, что -2 – один из искомых корней. Тогда, согласно вышеприведенному следствию,
,
,
.
Теорема 5. Поле комплексных чисел не является упорядоченным.
Доказательство.
Предположим, что упорядоченное поле с положительным конусом. Согласно аксиомам положительного конуса, для элементасправедливо одно из следующих условий:
1. , что противоречит;
2. , что противоречит;
3. , что противоречит.
Таким образом, ни одно из трех условий не выполняется, следовательно, предположение о существовании положительного конуса ложно, и, значит, не является упорядоченным полем.
что и требовалось доказать.