- •Федеральное агентство по образованию
- •Независимость аксиом Пеано.
- •Непротиворечивость системы аксиом Пеано.
- •Категоричность теории натуральных чисел.
- •Сложение натуральных чисел.
- •Свойства операции сложения на множестве натуральных чисел:
- •Умножение натуральных чисел.
- •Свойства операции умножения на множестве натуральных чисел:
- •Упорядоченность полукольца натуральных чисел.
- •Свойства отношения :
- •Понятия наибольшего и наименьшего элементов некоторого множества. Теоремы о существовании наибольшего и наименьшего элементов в подмножестве множества натуральных чисел.
- •Іі и ііі формы метода математической индукции для натуральных чисел.
- •Архимедовская расположенность полукольца натуральных чисел.
- •Лекции 3-4. Построение множества целых чисел.
- •Сложение и умножение целых чисел.
- •Кольцо целых чисел.
- •Вложение полукольца натуральных чисел в кольцо целых.
- •Строение кольца целых чисел.
- •Положительный конус и его свойства.
- •Свойства отношения :
- •Упорядоченность кольца целых чисел.
- •Три формы метода математической индукции для целых чисел.
- •Теоремы о существовании наибольшего и наименьшего элементов в подмножестве множества целых чисел.
- •Абсолютная величина целого числа и его свойства.
- •Свойства модуля:
- •Теорема о делении с остатком.
- •Архимедовская расположенность кольца целых чисел.
- •Лекции 5-6. Построение множества рациональных чисел.
- •Сложение и умножение рациональных чисел.
- •Поле рациональных чисел.
- •Вложение кольца целых чисел в поле рациональных.
- •Упорядоченность поля рациональных чисел.
- •Архимедовская расположенность поля рациональных чисел.
- •Лекция 7. Фундаментальные последовательности рациональных чисел и их свойства
- •Операции над последовательностями рациональных чисел.
- •Нулевые, положительные, отрицательные последовательности рациональных чисел.
- •Эквивалентные последовательности рациональных чисел и их свойства.
- •Лекции 8-9. Построение множества действительных чисел.
- •Поле действительных чисел.
- •Вложение поля рациональных чисел в поле действительных чисел.
- •Упорядоченность поля действительных чисел.
- •Архимедовская расположенность поля действительных чисел.
- •Теорема о сходимости любой фундаментальной последовательности рациональных чисел в поле действительных чисел.
- •Теорема о сходимости любой фундаментальной последовательности действительных чисел в поле действительных чисел.
- •Лекция 10. Поле комплексных чисел.
- •Алгебраическая форма записи комплексного числа.
- •Свойства сопряженных комплексных чисел:
- •Свойства нормы:
- •Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
- •Корни - ой степени из единицы
- •Лекция 11. Тело кватернионов.
- •Алгебраическая форма кватернионов.
- •Свойства сопряженных и нормы.
- •Геометрическая интерпретация чисто мнимых кватернионов
- •Лекция 12. Ассоциативные алгебры.
- •Теорема Фробениуса.
- •Дуальные и двойные числа (ассоциативные алгебры над полем действительных чисел размерности 2).
- •Алгебра Кэли (Неассоциативная альтернативная алгебра с делением).
Операции над последовательностями рациональных чисел.
Определение. Суммой последовательностей иназывается последовательность, полученная в результате сложения соответствующих членов этих последовательностей, т.е..
Определение. Произведением последовательностей иназывается последовательность, полученная в результате умножения соответствующих членов этих последовательностей, т.е..
Замечание. Разностью последовательностей иявляется сумма последовательностейи.
Теорема 2. Сумма, произведение и разность сходящихся последовательностей рациональных чисел является сходящейся последовательностью.
Доказательство.
Поскольку предел суммы, произведения, разности сходящихся последовательностей равен соответственно сумме, произведению, разности пределов этих последовательностей, теорему можно считать доказанной.
что и требовалось доказать.
Свойство 4 ф.п.р.ч. Сумма, произведение и разность фундаментальных последовательностей рациональных чисел является фундаментальной последовательностью.
Доказательство.
Докажем теорему сначала для фундаментальных последовательностей.
Пусть и- фундаментальные последовательности рациональных чисел. Тогда. Полагая, получим,. Оценим:
.
Последнее неравенство справедливо в силу свойства 3 ф.п.р.ч. оо ограниченности любой ф.п.р.ч.. Следовательно, последовательность является фундаментальной.
Аналогично устанавливается фундаментальность последовательности.
Последовательность фундаментальна,поскольку и всякая постоянная последовательность рациональных чисел фундаментальна..
что и требовалось доказать
Определение. Частным двух последовательностей ипри условии, что среди членов последовательностиотсутствуют числа, равные нулю, называется последовательность.
Свойство 5 ф.п.р.ч. Частным фундаментальных последовательностей ирациональных чисел при условии, что среди членов последовательностиотсутствуют числа, равные нулю, ине сходится к нулю, является фундаментальной последовательностью рациональных чисел.
Доказательство.
Поскольку не сходится к нулю, то найдется положительное рациональное числои натуральное такие, что . Поскольку последовательностиифундаментальны, имеем:
- ограниченная, следовательно, ;
.
Выберем . Тогда
что и требовалось доказать
Нулевые, положительные, отрицательные последовательности рациональных чисел.
Определение. Последовательность рациональных чисел, сходящаяся к 0, называется нулевой последовательностью.
Следствия из определения:
Любая нулевая последовательность рациональных чисел является ф.п.р.ч.
Любая подпоследовательность нулевой последовательности является нулевой.
Произведение, сумма и разность нулевых последовательностей является нулевой.
Множество всех нулевых последовательностей образует подкольцо в кольце всех ф.п.р.ч.
Определение. Последовательность рациональных чисел называется положительной, если.
Определение. Последовательность рациональных чисел называется отрицательной, еслибудет положительной.
Следствие. Любая подпоследовательность положительной (отрицательной) последовательности будет положительной.
Теорема 3. Сумма и произведение положительных последовательностей рациональных чисел является положительной последовательностью рациональных чисел.
Доказательство.
Пусть и- положительные последовательности рациональных чисел, что влечет
.
Пусть . Тогда.Последовательно складывая и умножая последние неравенства, получим . Поскольку, а - произвольное, большеечисло, последовательностииположительны.
что и требовалось доказать
Теорема 4. Если фундаментальные последовательности ине являются положительными, тогда фундаментальная последовательностьбудет нулевой.
Доказательство.
По условию ине являются положительными, следовательно,. Учитывая фундаментальность последовательностейи, можно выбратьнастолько большим, чтобы выполнялись неравенства:
Тогда
Выбрав , получимдля сколь угодно малого, а это возможно лишь в одном случае, еслиявляется нулевой последовательностью рациональных чисел.
что и требовалось доказать
Следствие. Если - ф.п.р.ч., тогда либоположительна, либоположительна, либо- нулевая.