Поле действительных чисел.

Теорема 2. -поле.

Доказательство.

Поскольку операции сложения и умножения действительных чисел сводятся к операциям сложения и умножения рациональных, то нетрудно проверяется их ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность.

(существование 0) (?)

Покажем, что класс :

.

(существование 1) (?)

Покажем, что класс :

.

(существование противоположного) (?)

Проверим, что :

.

(существование обратного для каждого ненулевого) (?)

Поскольку ,- ненулевая ф.п.р.ч., следовательно, либо, либоположительны. Последнее влечет. Таким образом, среди членов последовательности, начиная с номеранет чисел, равных 0. Рассмотрим- подпоследовательность последовательноститакую, что. Последовательностьне содержит нулевых членов. Зная, что всякая подпоследовательность эквивалентна данной последовательности, имеем. Тогда.Поскольку ненулевая фундаментальная последовательность рациональных чисел и среди ее членов отсутствуют числа, равные 0,является частным фундаментальных последовательностей, а, значит тоже фундаментальна.

Проверим, что :

.

что и требовалось доказать.

Вложение поля рациональных чисел в поле действительных чисел.

Договоримся обозначать поле действительных чисел через .

Теорема 3. Поле рациональных чисел вкладывается в поле действительных чисел.

Доказательство.

Рассмотрим множество . Нетрудно устанавливается, чтоподполе поля, проверим только замкнутость.

замкнуто относительно сложения и умножения (?)

;

.

Рассмотрим соответствиезаданное по правилу , где- класс, порожденный постоянной последовательностью.

Докажем, что - изоморфизм.

- отображение (?)

Всюду определенность очевидна, поскольку для каждого рационального числа можно построить класс.

Однозначность:(?)

- биекция (?)

Инъективность: (?)

- нулевая. Докажем равенство иметодом от противного. Предположим, что. Возможны случаи:

1. .

- положительная.

2. аналогично.

- отрицательная.

Таким образом, в обоих случаях получено противоречие с условием - нулевая, а, значит .

Сюръективность: (?)

Возьмем , поскольку. В силу произвольности сюръективность доказана.

- гомоморфизм (?)

что и требовалось доказать.

Замечание 1. Ввиду изоморфизма, который отмечен в конце доказательства, мы проведем отождествление для каждого рационального числа. Ввиду этого отождествления получим(подмножество, более того, подполе).

Замечание 2. В одном классе лежат последовательности, имеющие одинаковые пределы.

Упорядоченность поля действительных чисел.

Теорема 4. Поле действительных чисел упорядоченное.

Доказательство.

Рассмотрим подмножество . Нетрудно проверить аксиомы положительного конуса для.

Последнее справедливо, поскольку сумма и произведение положительных последовательностей также являются последовательностями положительными.

возможен один из трех случаев:

• ,

• ,

• .

что и требовалось доказать.

Следствие 1. Бинарное отношение < на , определенное по правилуявляется строгим линейным порядком и удовлетворяет свойствам 1.-6. (см. теорему об упорядоченных кольцах).

Следствие 2. Бинарное отношение на, определенное по правилуявляется линейным порядком.

Лемма 1. Если и, то.

Доказательство.

- неотрицательная ф.п.р.ч. Возможны случаи:

1. - положительная.

Тогда .

2. - нулевая.

Тогда .

.

что и требовалось доказать.

Замечание. Если и, то(например, ).

Лемма 2. Если и, то.

Доказательство.

Проводится аналогично лемме 1.

что и требовалось доказать.

Замечание. Если и, то.