- •Федеральное агентство по образованию
- •Независимость аксиом Пеано.
- •Непротиворечивость системы аксиом Пеано.
- •Категоричность теории натуральных чисел.
- •Сложение натуральных чисел.
- •Свойства операции сложения на множестве натуральных чисел:
- •Умножение натуральных чисел.
- •Свойства операции умножения на множестве натуральных чисел:
- •Упорядоченность полукольца натуральных чисел.
- •Свойства отношения :
- •Понятия наибольшего и наименьшего элементов некоторого множества. Теоремы о существовании наибольшего и наименьшего элементов в подмножестве множества натуральных чисел.
- •Іі и ііі формы метода математической индукции для натуральных чисел.
- •Архимедовская расположенность полукольца натуральных чисел.
- •Лекции 3-4. Построение множества целых чисел.
- •Сложение и умножение целых чисел.
- •Кольцо целых чисел.
- •Вложение полукольца натуральных чисел в кольцо целых.
- •Строение кольца целых чисел.
- •Положительный конус и его свойства.
- •Свойства отношения :
- •Упорядоченность кольца целых чисел.
- •Три формы метода математической индукции для целых чисел.
- •Теоремы о существовании наибольшего и наименьшего элементов в подмножестве множества целых чисел.
- •Абсолютная величина целого числа и его свойства.
- •Свойства модуля:
- •Теорема о делении с остатком.
- •Архимедовская расположенность кольца целых чисел.
- •Лекции 5-6. Построение множества рациональных чисел.
- •Сложение и умножение рациональных чисел.
- •Поле рациональных чисел.
- •Вложение кольца целых чисел в поле рациональных.
- •Упорядоченность поля рациональных чисел.
- •Архимедовская расположенность поля рациональных чисел.
- •Лекция 7. Фундаментальные последовательности рациональных чисел и их свойства
- •Операции над последовательностями рациональных чисел.
- •Нулевые, положительные, отрицательные последовательности рациональных чисел.
- •Эквивалентные последовательности рациональных чисел и их свойства.
- •Лекции 8-9. Построение множества действительных чисел.
- •Поле действительных чисел.
- •Вложение поля рациональных чисел в поле действительных чисел.
- •Упорядоченность поля действительных чисел.
- •Архимедовская расположенность поля действительных чисел.
- •Теорема о сходимости любой фундаментальной последовательности рациональных чисел в поле действительных чисел.
- •Теорема о сходимости любой фундаментальной последовательности действительных чисел в поле действительных чисел.
- •Лекция 10. Поле комплексных чисел.
- •Алгебраическая форма записи комплексного числа.
- •Свойства сопряженных комплексных чисел:
- •Свойства нормы:
- •Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
- •Корни - ой степени из единицы
- •Лекция 11. Тело кватернионов.
- •Алгебраическая форма кватернионов.
- •Свойства сопряженных и нормы.
- •Геометрическая интерпретация чисто мнимых кватернионов
- •Лекция 12. Ассоциативные алгебры.
- •Теорема Фробениуса.
- •Дуальные и двойные числа (ассоциативные алгебры над полем действительных чисел размерности 2).
- •Алгебра Кэли (Неассоциативная альтернативная алгебра с делением).
Сложение натуральных чисел.
Определение: Сложением натуральных чисел называется соответствие , удовлетворяющее следующим условиям:
1. ;
2. .
Назовем условия 1 и 2 аксиомами сложения.
Теорема 1. Сложение на множестве натуральных чисел является бинарной операцией, существует и притом единственное.
Доказательство.
- бинарная операция (?)
Докажем методом математической индукции в І форме для натуральных чисел по , чтоявляется отображением.
База индукции :
и определено и однозначно, поскольку- отображение.
Индуктивное предположение :
Пусть определено и однозначно.
Покажем справедливость утверждения для :
определено и однозначно (?)
. Поскольку определено и однозначно, а- отображение,также определено и однозначно.
Также методом математической индукции в І форме для натуральных чисел по устанавливает существование и единственность операции.
Операция единственна (?)
Предположим, что наряду с операцией существует операция, удовлетворяющая аксиомам сложения:
1. ;
2. .
База индукции :
.
Индуктивное предположение :
Пусть .
Покажем справедливость утверждения для :
(?)
, что противоречит предположению.
Таким образом, , следовательно,.
Операция существует (?)
Рассмотрим систему множеств , где. Индукцией подокажем, что существует отображение, удовлетворяющее следующим условиям:
1. ;
2. .
База индукции :
Определим по правилу:
.
Очевидно, что таким образом определенное существует, причем
1. ;
2. .
Индуктивное предположение :
Пусть существует и удовлетворяет условиям:
Покажем справедливость утверждения для :
(?)
Определим по правилу:
.
Определим операцию по правилу. Доказано, чтосуществует и удовлетворяет аксиомам сложения, следовательно, существует и отображение, удовлетворяющее аксиомам сложения.
что и требовалось доказать.
Замечание. Поскольку операция , удовлетворяющая аксиомам сложения, единственна на множестве натуральных чисел, для нее введем специальный символ+, т.е..
Свойства операции сложения на множестве натуральных чисел:
1) .
Доказательство.
.
2) .
Доказательство.
.
3) (ассоциативность).
Доказательство.
Проведем методом математической индукции в І форме для натуральных чисел по .
База индукции :
.
Индуктивное предположение :
Покажем справедливость утверждения для :
(?)
.
4) (коммутативность).
Доказательство.
Проведем методом математической индукции в І форме для натуральных чисел по .
База индукции :
.
Индуктивное предположение :
Покажем справедливость утверждения для :
(?)
.
5) (закон сокращения).
Доказательство.
Проведем методом математической индукции в І форме для натуральных чисел по .
База индукции :
.
Индуктивное предположение :
Покажем справедливость утверждения для :
(?)
.
Умножение натуральных чисел.
Определение. Умножением натуральных чисел называется соответствие , удовлетворяющее следующим условиям:
1. ;
2. .
Назовем условия 1 и 2 аксиомами умножения.
Теорема 2. Умножение на множестве натуральных чисел является бинарной операцией, существует и притом единственное.
Доказательство.
- бинарная операция (?)
Докажем методом математической индукции в І форме для натуральных чисел по , что является отображением.
База индукции :
и определено и однозначно.
Индуктивное предположение :
Пусть определено и однозначно.
Покажем справедливость утверждения для :
определено и однозначно (?)
. Поскольку определено и однозначно, а- операция,также определено и однозначно.
Также методом математической индукции в І форме для натуральных чисел по устанавливает существование и единственность операции .
Операция единственна (?)
Предположим, что наряду с операцией существует операция , удовлетворяющая аксиомам сложения:
1. ;
2. .
База индукции :
.
Индуктивное предположение :
Пусть .
Покажем справедливость утверждения для :
(?)
, что противоречит предположению.
Таким образом, , следовательно,.
Операция существует (?)
Рассмотрим систему множеств , где. Индукцией подокажем, что существует отображение, удовлетворяющее следующим условиям:
1. ;
2. .
База индукции :
Определим по правилу:
.
Очевидно, что таким образом определенное существует, причем
1. ;
2. .
Индуктивное предположение :
Пусть существует и удовлетворяет условиям:
Покажем справедливость утверждения для :
(?)
Определим по правилу:
.
Определим операцию по правилу. Доказано, чтосуществует и удовлетворяет аксиомам умножения, следовательно, существует и отображение, удовлетворяющее аксиомам умножения.
что и требовалось доказать.
Замечание. Поскольку операция , удовлетворяющая аксиомам умножения, единственна на множестве натуральных чисел, для нее введем специальный символ, т.е..