2.3.2 Получение экспоненциального распределения из представления интенсивности отказов как условной мгновенной плотности вероятности

Другой подход к построению экспоненциальной модели вероятности безотказной работы агрегатов [37, 50] основан на определении интенсивности отказов λ(t) как условной мгновенной плотности вероятности отказа в виде

λ(t) = . (2.17)

Поскольку плотность распределения вероятности выражается как

f (t) =,

то после подстановки этого выражения в (2.17) и разделения переменных, вероятность безотказной работы определится в виде

p (t) = . (2.18)

В случае стационарности процесса полагают, что λ(t) = λ= const, и выражение (2.18) преобразуется в (2.1). Таков рассматриваемый подход.

Здесь обращает на себя внимание тот факт, что в исходном выражении (2.17) определенакак условная плотность вероятности, а в распределении Пуассона (2.13) как математическое ожидание числа попаданий точек на отрезок (единицу времени) протяженностью. Условная плотность вероятности и математическое ожидание, существенно различные понятия. Вместе с этим, получен один и тот же результат в виде выражения (2.1).

Статистическая оценка интенсивности отказов определяется из результатов испытаний как среднее число отказов (математическое ожидание), приходящееся на единицу времени (1час) на интервале времени Δt [37]:

λ^* (t, Δt) =

где (t, Δt) – число отказавших изделий на интервале Δt; а Δt_n(t, Δt) – общая наработка изделий на интервале Δt.

Совершенно очевидно, что эта оценка λ^* имеет пуассоновский смысл.

В ряде работ по надежности [37, 43] и по статистическим методам [51] утверждается, что при экспоненциальном распределении вероятность отказа на участке протяженностью τ зависит только от протяженности участка и не зависит от его положения на оси абсцисс. Такое утверждение не оправданно, поскольку из рис. 2.1 очевидно, что для этого вида моделей, если τ₁ = τ₂, то q₁  q_2. Вместе с этим, в работе [50] приведен числовой пример, которым автор делает попытку подтвердить отмеченное свойство экспоненциального распределения. Рассмотрим этот пример.

Автором показано, что при λ = 0,0001, вероятность отказа на участках от 0 до 10 ч и от 990 до 1000 ч одинакова и равна 0,001. Пример неудачен из-за выбранного диапазона изменения времени, поскольку во всем рассматриваемом диапазоне времени от 0 до 1000 ч вероятность отказа меньше 0,1. В этом рассмотренном диапазоне изменения вероятности отказа, экспоненциальное распределение не существенно расходится с распределением равномерной плотности. При распределении с равномерной плотностью на рассмотренных участках вероятность отказа также равна 0,001.

Но если рассмотреть больший диапазон, например до 100 000 ч, то при той же λ = 0,0001 и экспоненциальном распределении вероятность отказа на участке от 0 до 1 000 ч будет 0,0952, на участке от 9 000 до 10 000 ч она составляет 0,0387, а на участке от 99 000 до 100 000 ч будет уже 0,474 × 10^-5. При этом расхождение в первом случае составит 246 %, а во втором увеличится в 20 тысяч раз.

Утверждение о независимости вероятности отказа от положения на оси абсцисс участка фиксированной длины привнесено в экспоненциальное распределение из условий, накладываемых на систему точек, подчиняющихся распределению Пуассона [43, 51]. Так, авторы полагают, что экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Пуассона при m = 0. Действительно, в ограничениях накладываемых на совокупность точек, подчиняющихся распределению Пуассона, на самом деле, предполагается, что «вероятность попадания того или иного числа точек на отрезок τ зависит только от длины отрезка, но не зависит от его положения на оси абсцисс». Это ограничение наложено на систему точек при котором получено распределение Пуассона, но никак не экспоненциальное. Очевидно авторы работ [37, 50] полагают, что экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Пуассона. Но там же [43, 51] отмечается, что «точки распределены по оси абсцисс с одинаковой средней плотностью», а никак не экспоненциально. Существует только одно распределение случайной величины, при котором вероятность появления события зависит только от длины отрезка τ и не зависит от его положения на оси абсцисс, это распределение с равномерной плотностью вероятности.

***

Приведенные рассуждения убедительно показывают, что получение экспоненциального распределения на основе определения интенсивности отказов λ(t) как условной плотности вероятности отказа в виде (2.17) тоже вызывает массу вопросов, которые будут рассмотрены далее.