3.9. Расчет надежности сложных систем общего резервирования с учетом восстановления

Рассмотрим граф состояний и переходов восстанавливаемых агрегатов, приведенный на рис. 2.15.

Стационарная вероятность нахождения агрегата в исправном состоянии 1, с учетом времени на его восстановление определена из (2.41) в виде

, (3.40)

где =- интенсивность перехода агрегата из исправного состояния в состояние отказа;- интенсивность его восстановления.

В качестве агрегата будем рассматривать аналог гидросистемы самолета Ту-154М. Как и ранее, в п. 3.6.1 примем m=3, n=20 и ω=1·10^-4. С точки зрения расчета надежности, система отличается от агрегата тем, что допускает несколько отказов без потери работоспособности, т.е. может находиться в работоспособном состоянии с функциональными отказами. При одновременной реализации трех отказов агрегатов система-аналог гидросистемы Ту-154М перейдет из работоспособного но неисправного состояния в состояние отказа.

С точки зрения расчета вероятности нахождения системы самолета в исправном состоянии, интенсивность восстановления отказа агрегата , , удобно рассматривать состоящей из двух частей. Первая часть определяется временем полета самолета с отказавшим агрегатом , и вторая – временем восстановления системы после приземления самолета

(3.41)

С точки зрения безопасности полета, время восстановления агрегата на земле, после посадки, на безопасность полета не оказывает влияния. В связи с этим, интенсивность перехода , т.е. интенсивность восстановления будем определять только с учетом времени полета с отказавшим агрегатом

(3.42)

В рассматриваемом примере примем =1 ч, тогда=1.

Поскольку восстановление происходит не мгновенно, то за оставшееся время полета с отказавшим агрегатом возможна реализация более одного отказа. При этом нарушается условие ординарности, накладываемое на пуассоновский и Марковский потоки событий. Процесс развития отказов перестает быть марковским и прямое применение решения, получаемого из системы дифференциальных уравнений Колмогорова, становится не корректным.

В связи с изложенным предлагается поэтапный метод решения задачи расчета надежности сложных восстанавливаемых систем. В соответствии с ним задача расчета надежности сложных восстанавливаемых систем решается поэтапно с использованием графа состояний и переходов, приведенного на рисунке 2.15 и стационарной части решения вида (3.40).

На первом этапе определяется конечная вероятность исправного состояния системы при реализации в ней первого отказа. При этом интенсивность перехода из 1 (исправного состояния) в 2 (работоспособное состояние с одним функциональным отказом) определится временем работы системы до отказа в ней первого агрегатакак

. (3.43)

Тогда стационарная вероятность нахождения восстанавливаемой системы в исправном состоянии до первого отказа определится стационарным членом решения (2.41) как

. (3.44)

Как уже отмечено ранее, поскольку восстановление первого отказавшего агрегата произойдет только после окончания полета, т.е. не мгновенно, то существует вероятность появления и второго отказа за время . При этом система останется работоспособной с двумя функциональными отказами. Поэтому на втором этапе определяется вероятность нахождения системы в исправном состоянии при реализации в ее структуре отказа второго агрегата, произошедшего до восстановления первого.

Для невосстанавливаемой системы, время перехода из состояния с одним отказавшим агрегатом в состояние с двумя отказавшими агрегатами определено ранее как . Но восстанавливаемая система находится в работоспособном состоянии с одним отказавшим агрегатом с вероятностью

(3.45)

Это указывает на то, что фактическое время работы системы от момента отказа первого агрегата до момента отказа второго агрегата будет существенно больше, чем время , определенное для невосстанавливаемой системы.

Увеличение времени определяется тем, что после отказа первого агрегата систему восстанавливают до исправного состояния. У восстанавливаемой системы отрезок времени до отказа второго агрегата состоит из суммы многих малых отрезков времени, каждый из которых является частью многих циклов восстановления. Каждый цикл восстановления состоит из суммы времен до отказа первого агрегатаи времени полетас отказавшим агрегатом. Протяженность этого увеличенного отрезка времени можно определить как

На втором этапе, интенсивность перехода из состояния 1, в работоспособное состояние 2 с двумя отказами, определится как

(3.46)

Тогда вероятность нахождения системы в исправном состоянии до реализации в ее структуре двух функциональных отказов как

(3.47)

При этом вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии с двумя отказавшими агрегатами определится как

(3.48)

Тогда на третьем этапе, в соответствии с (3.48), интенсивность перехода системы из работоспособного состояния с двумя отказавшими агрегатами в состояние с тремя отказавшими агрегатами определится как

(3.49)

Вероятность нахождения системы в исправном состоянии до реализации в ней трех отказов выразится как

. (3.50)

Тогда вероятность реализации в рассматриваемой системе одновременно трех отказов выразится как

,

или переходя к терминам теории надежности

.

Поскольку, для восстанавливаемой системы, время работы до реализации в ней одновременно трех отказов агрегатов в соответствии с (3.15), (3.46) и (3.49) определится как

, (3.51)

то вероятность отказа восстанавливаемой системы за 1 час налета правомерно определить в виде

Для рассматриваемой в качестве примера, системы аналога гидросистемы самолета Ту-154М

Значения в системе вероятностей отказа первого агрегата , двух агрегатови трех агрегатов, одновременно могут быть определены, в соответствии с предложенным методом, только на моменты времени,и. Отметим, что в эти моменты времени отказывают первый второй и третий агрегаты в невосстанавливаемой системе. Поскольку процесс стационарный, то система может находиться с определенными вероятностями состояний с одним, двумя и тремя отказами в любой произвольный момент времени. Поэтому на рис. 3.23 линии соединяющие точки отказов агрегатов одного двух и трех проведены пунктиром, поскольку моменты времени реализации отказов определены из расчета невосстанавливаемой системы.

Рассматривая надежность восстанавливаемой системы при стационарном процессе эксплуатации, вероятность отказа системы, т.е. вероятность отказа трех агрегатов (по одному в каждой ее подсистеме), определяется как , а вероятность ее отказа за 1 час налета не более чем.

У невосстанавливаемых резервированных систем с увеличением времени работы вероятность их отказа увеличивается вместе с увеличением числа отказавших агрегатов (рис. 3.10, 3.11, 3.14, 3.15). У восстанавливаемых систем, напротив большему числу отказавших агрегатов соответствуют существенно меньшие значения вероятностей отказов. При чем, эти значения вероятностей реализуются только на коротких отрезках времени налета без восстановления, т.е. с отказавшим одним и более агрегатами.

Рисунок 3.23 – Зависимость вероятности одного , двухи трех отказоввосстанавливаемой системы от времени, отнесенные к моментам времени отказа невосстанавливаемой системы приm=3, n=20 и

Если отказ системы приводит к катастрофе самолета, то процесс ее функционирования следует считать законченным. Если отказ системы не катастрофичен, то она будет вновь восстановлена после посадки самолета.

Представляет интерес сравнение полученных различными методами вероятностей отказа за 1 час налета. Для рассматриваемой системы аналога гидросистемы самолета Ту-154М вероятность отказа за 1 час налета на отрезке времени [0, 1 ч], рассчитанная по традиционному методу равна . Во времени она изменяется по кривой, по форме близкой к плотности вероятности нормального распределения. Некорректность такого закона изменения вероятности отказа за 1 час налета подробно рассмотрено в главе 2. Здесь следует отметить только тот факт, что вопрос о восстанавливаемости систем в традиционном методе замалчивается.

Вероятность отказа за 1 час налета для невосстанавливаемой системы аналога гидросистемы Ту-154 определена по разработанному методу для отрезка времени [0, 166 ч] и в среднем на отрезке [0, 500ч] как .

С учетом восстановления финальное значение вероятности отказа за 1 час определено как величина не хуже чем .

***

Подводя итоги сравнения методов расчета вероятности отказа аналога гидросистемы самолета Ту-154М отметим следующее. При использовании теоремы умножения вероятностей для расчета вероятности отказа сложных систем, ее применение некорректно как для восстанавливаемых, так и для невосстанавливаемых систем.

Для оценки надежности сложных систем, получен метод обеспечивающий возможность расчета вероятности отказа как для восстанавливаемых, так и для невосстанавливаемых систем. В обоих случаях вероятности отказов систем в функции времени являются кусочно-линейными зависимостями.

У невосстанавливаемых систем выявлена независимость вероятности отказа системы и вероятности ее отказа за 1 час от числа параллельно соединенных подсистем.

У восстанавливаемых систем вероятность их отказа и вероятность отказа за 1 час имеют сильные зависимости как от числа параллельно соединенных подсистем, так и от интенсивности восстановления, определяемой временем полета без восстановления рис. 3.24

Рисунок 3.24 – Зависимость вероятности отказа от времени полета без восстановления при m=3, n=20 и , для аналога гидросистемы

самолета Ту-154М

Различия между вероятностями отказа и вероятностями отказа за 1 час у невосстанавливаемых и восстанавливаемых систем более чем существенные и оцениваются величинами в несколько порядков.