Глава 3 Разработка методологических основ и методов расчета надежности сложных систем

3.1 Математическая модель вероятности отказа агрегата восстанавливаемых систем

В главе 2 показана некорректность традиционного подхода и неприемлемость использования в качестве математической модели вероятности отказа агрегата восстанавливаемых систем - экспоненциального распределения.

В отраслевом стандарте [55], для расчета безотказности функциональных систем с высоконадежными агрегатами, свойственными авиационной технике, рекомендовано использовать распределение равномерной плотности вероятности взамен экспоненциального только для упрощения расчетов. В связи с этим следует привести высказывание из монографии [36]: «по мнению ряда специалистов, из-за неграмотности разработчиков, государственные стандарты содержали многочисленные ошибки. Для анализа ситуации в 1985 г. была организована рабочая группа по упорядочению системы стандартов по прикладной статистике и другим статистическим методам. Оказалось, что существенная часть стандартов по статистическим методам действительно содержала грубые ошибки. Некоторые из них действуют до сих пор. Затем, с целью исправления положения, был организован Всесоюзный центр по статистическим методам и информатике при МГТУ имени Н.Э.Баумана. В связи с обнаружением грубых ошибок, 24 из 31 государственных стандартов по статистическим методам были отменены в 1986  1987 годах».

Рассмотрим процедуру построения математической модели вероятности отказа для агрегата. Также как и приверженцы экспоненциальной модели, будем считать поток событий (отказов агрегата) редким и простейшим, т.е. удовлетворяющим условиям ординарности, стационарности и отсутствия последействия, накладываемым на пуассоновский поток.

Напомним, что утверждение о независимости вероятности отказа от положения на оси абсцисс участка фиксированной длины, привнесено в экспоненциальное распределение из условий, накладываемых на систему точек, подчиняющихся распределению Пуассона. Так, авторы [43, 51] полагают, что экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Пуассона при m = 0. Однако, в ограничениях накладываемых на совокупность точек, подчиняющихся распределению Пуассона, на самом деле, предполагается, что «вероятность попадания того или иного числа точек на отрезок τ зависит только от длины отрезка, но не зависит от его положения на оси абсцисс». Но там же отмечается, что «точки распределены по оси абсцисс с одинаковой средней плотностью», а никак не экспоненциально. Существует только одно распределение случайной величины, при котором вероятность появления события зависит только от длины отрезка τ и не зависит от его положения на оси абсцисс, это распределение с равномерной плотностью вероятности.

В целях определения вероятности первого отказа для потока событий, удовлетворяющего условиям ординарности, стационарности и отсутствия последействия, ужесточим требования к этому потоку. Положим, что события реализуются через равные интервалы времени Т. Тогда вероятность отказа (появления первого события) при выразится как

q(t) = . (3.1)

Перейдем вновь к Пуассоновскому потоку событий, зафиксированных на оси t. Для такого потока (редкие события) среднее значение Т – величина обратная ω. Тогда (3.1) примет вид

q(t) = ω·t, (3.2)

что соответствует распределению с равномерной плотностью.

Следует иметь ввиду, что ω в выражении (3.2) понимается как математическое ожидание числа отказов (количества точек, попадающих на рассматриваемый малый отрезок) в единицу времени (например 1 час налета самолета).

***

Таким образом, при построении математической модели вероятности отказа для агрегата восстанавливаемой системы предлагается использовать распределение равномерной плотности. Основанием для этого служит то, что: во-первых оно наиболее полно отвечает условиям ординарности, стационарности и отсутствия последействия, наложенным Пуассоном на редкий поток событий, и во-вторых не противоречит деградационным процессам развивающимся в технических устройствах обслуживаемых систем в процессе работы.