3.7.2. Расчет надежности сложной восстанавливаемой системы

при традиционном подходе

Поскольку, в качестве одной из целей работы является сравнение вероятностей отказов системы, рассчитанных традиционным и альтернативным методами, то исследования целесообразно проводить на примере аналога одной из систем самолетов. В качестве системы рассмотрим систему, состоящую из трех параллельно включенных одинаковых подсистем каждая из которых состоит из 20 последовательно соединенных агрегатов. что является приближенным аналогом гидравлической системы самолета Ту-154М. Ее схема приведена на рис. 3.19.

Рисунок 3.19 – Система аналог гидросистемы самолета Ту-154М

Для сокращения выражений для расчетов, упрощения расчетов и более наглядного представления различий результатов полученных при сравнении методов положим, что все агрегаты, выполняющие различные функции, имеют одинаковые параметры потоков отказов. Положим, что параметры потоков отказов агрегатов являются линейной функцией времени вида (3.30).

Тогда в соответствии с (3.29) эквивалентный параметр потока отказов определяется как

(3.31)

Положив а =110^-4 и k =110^-8 определим

_э(t) = 1  10^-4 + 0,5  10^-8t.

В соответствии с традиционным методом расчета надежности систем вероятность отказа аналога гидросистемы самолета Ту-154М будет

Q(t) = {1 – [1 – _э(t)  t]ⁿ}^m. (3.32)

На рис. 3.20 приведена зависимость Q(t) при принятых параметрах системы. Там же на рис 3.20 приведена зависимость вероятности отказа системы аналога рассчитанная при среднем на рассматриваемом интервале времени, но постоянном параметре потоков отказов агрегатов равном 1,510^-4.

_э = 10^-4 + 0,5  10^-8t.

= 1,5  10^-4

Рисунок 3.20 – Вероятность отказа системы аналога

гидросистемы самолета ТУ-154М при переменном

и постоянном параметрах потока отказов

На интервале от 0 до 600 часов работы _э   = const и вероятность отказа при переменном параметре потоков отказов существенно меньше, чем при постоянном. При времени  600 часов _э становиться больше  = const и разница в вероятностях отказа уменьшается.

3.7.3 Расчет надежности по методу без использования теоремы умножения вероятностей

Прежде чем перейти к рассмотрению задачи расчета вероятности отказа сложных функциональных систем без использования теорем умножения и сложения вероятностей, обратимся к простым системам, поскольку их рассмотрение обеспечивает возможность наглядного представления обоснованности метода.

Рассмотрим систему с последовательным соединением n агрегатов. Такая система откажет если откажет хотя бы один из агрегатов. С увеличением числа агрегатов n поток отказов системы как сумма потоков отказов агрегатов возрастает, поскольку суммарный поток отказов

ω_Σ=(3.33)

Чем больше суммарный поток отказов системы ω_Σ, тем раньше реализуется первый отказ любого из агрегатов системы и тем меньше время до первого отказа. Поскольку

q(t₁)= ω_Σ·t₁,

то отсюда

t₁=, (3.34)

и при вероятности первого отказа равной q(t₁)=1 оно определится как

t₁=. (3.35)

Если вместо распределения с равномерной плотностью вероятности использовать экспоненциальное распределение, то при времени t=t₁ отказ реализуется с вероятностью равной 0,632.

Вероятность 0,632 далека от практически достоверной оценки вероятности отказа и не приемлема для объектов, отказ которых сопряжен с недопустимыми потерями, т.е. имеет высокую степень значимости. Например, оценка вероятности реализации катастрофического для самолета отказа равна 1·10^-9 в соответствии с нормами летной годности самолетов.

При экспоненциальном распределении вероятность отказа агрегата с параметром потока отказов ω=1·10^-4 вероятность отказа q(t)= 1·10^-9 достигается при времени t=115 000 или 13 лет непрерывной работы. Это совершенно нереальная цифра наработки до отказа агрегата, что подчеркивает неприемлемость экспоненциальной модели.

При параллельном соединении система откажет, когда в ней откажут все агрегаты. Вместе с этим время до первого отказа агрегата, как и в системе с последовательным соединением, определится суммарным потоком отказов по выражению (3.35). Поскольку рассматривается система с нагруженным резервированием, в которой все агрегаты начинают работать одновременно, время до отказа системы определится временем до отказа последнего агрегата.

Поскольку, рассматриваемая система содержит в своей структуре nm=60 агрегатов, то параметр потока отказов определяющий вероятность реализации в ней 1-го отказа любого из агрегатов будет

_э1(t) = n  m  _э = n  m(a + ). (3.36)

Тогда вероятность 1-го отказа агрегата в системе определится как

q₁(t) = _э1(t)∙t = n  m(a + )∙t. (3.37)

Задав для q₁(t) определенное значение вероятности отказа, приведем (3.37) к квадратному уравнению относительно времени отказа 1-го агрегата в системе, тогда

. (3.38)

Подставив в (3.38) значения параметров системы n и m, постоянной а и коэффициента k, определим значение времени t₁ = 82,5 ч. При этом в системе с вероятностью q₁ = 1 откажет один из 60 агрегатов, и откажет одна из трех параллельно работающих подсистем. Отказ одной подсистемы не представляет угрозы для безопасного завершения полета. Поскольку система восстанавливаемая, отказавший агрегат заменят после посадки. Самолет не выпустят в полет с отказавшим агрегатом в системе, отказ которой в целом чреват катастрофой.

***

Приведенное выше построение решения задачи расчета времени до отказа 1-го агрегата в системе не трудно продолжить, определив время до 2-го и 3-го отказов агрегатов. При отказе 3-го агрегата рассматриваемая система откажет в целом. Но это уже будет расчет системы с невосстанавливаемыми агрегатами. Восстанавливаемая система не может отказать при неограниченном увеличении времени работы и в этом смысле ее вероятность отказа равна нулю, по крайней мере, теоретически.