3.6.1. Метод расчета надежности невосстанавливаемых

систем при общем резервировании

Учет изменения структуры и свойства системы в процессе развития отказов обеспечивает возможность решения задачи расчета вероятности ее отказа без использования теорем умножения и сложения вероятностей. При этом отпадает необходимость строить решение с нарушением условия применения этих теорем.

Прежде чем приступить к построению решения задачи расчета надежности систем без использования теорем умножения и сложения вероятностей поясним значение вероятностных оценок. Это тем более необходимо, поскольку обсуждение значимости вероятностных оценок надежности систем в литературе по надежности систем нам не известны.

Численная оценка вероятности определяет степень уверенности в том либо ином исходе опыта в условиях неопределенности. Отношение к величине этой оценки определяется значимостью события, которое она оценивает в опыте. Так, к вероятности 0,5 выпадения «орла» либо «решки» в единичном опыте по подбрасыванию монеты люди относятся с безразличием. Прогноз погоды, данный с большой степенью неопределенности, раздражает постольку, поскольку он ни о чем не говорит, как вероятность 0,5 при подбрасывании монеты. Но при вероятности реализации катастрофы с самолетом в полете равной 0,5, пассажиры в самолет не сядут. В этом случае значимость оценки вероятности очень велика. По этой причине допустимая по международным Нормам [38] вероятность катастрофы вызванной отказом одной из систем определена как величина не более 1  10^-9 на 1 час полета. Это один случай на миллиард. Такая оценка, при высокой ее значимости, убеждает нас в том, что опасаться катастрофического исхода полета нет оснований.

Но оценка 1  10^-9 близка к нулю. При этом, естественно, вероятность безотказной работы, как дополнения к событию отказа, становится близка к 1. Девять девяток после запятой – почти единица. Приведенное выше убеждает нас в том, что при высокой значимости вероятностной оценки исхода события, существенное значение приобретают оценки вероятности близкие к 0 и к 1. Полученные оценки вероятности отказа, во всем диапазоне их изменения, не сопровождаются оценками их доверительных вероятностей, и по этой причине оценки вероятности отказа 0 и 1 воспринимаются как детерминистические хотя в действительности они получены с определенной степенью доверия. В работе этот вопрос не рассматривается, поскольку широко освещен в литературе по вероятности и надежности.

В расчетах надежности систем исходной характеристикой надежности агрегатов является параметр потока отказов . Он определяется как среднее число отказов в 1 час приходящееся на 1 работающий агрегат. При большом числе опытов это среднее приближается к математическому ожиданию числа отказов в 1 час.

Введем в рассмотрение параметр потока отказов системы как единого объекта. Он определится как сумма параметров потоков отказов агрегатов составляющих систему. Поток отказов в системе в целом значительно плотнее во времени, чем поток отказов одного агрегата. Именно этот суммарный поток определит вероятность отказа первого агрегата в функции времени. Этот отказ приведет к отказу одной из подсистем в которой находится отказавший агрегат. Тогда свойство безотказности системы изменится скачком. Число работающих в ней агрегатов станет меньше, уменьшится и значение суммарного параметра потока отказов. Это уменьшенное значение параметра потока отказов определит вероятность реализации второго отказа в системе. Вся система откажет тогда, когда в оставшейся одной работоспособной подсистеме откажет любой агрегат.

Проиллюстрируем эту процедуру подробнее на ранее упоминавшемся примере расчета аналога гидросистемы самолета Ту-154М.

Поскольку в рассматриваемой системе 60 агрегатов ее суммарный параметр определится как

_1 = n  m   = 60, (3.13)

где n = 20 – число последовательно соединенных агрегатов в одной подсистеме; m = 3 – число параллельно включенных подсистем.

Тогда вероятность первого отказа агрегата в системе

q₁(t) =_1 = n  m  = 60. (3.14)

Из (3.14) выразим время t₁, при котором реализуется первый отказ в системе с произвольно заданной вероятностью q₁

. (3.15)

Время первого отказа t₁ выражено в (3.15) через значение вероятности отказа q₁, параметры систем n и m, и параметр потока отказов агрегата .

Положив q₁ = 1 найдем время t₁ через которое с вероятностью равной 1 откажет первый агрегат.

ч.

Отказ первого агрегата в системе приводит к отказу одной (любой) подсистемы. В оставшихся двух работоспособных подсистемах количество агрегатов n(m – 1) = 40. Суммарный поток отказов этих подсистем равен 40. Тогда вероятность отказа одного агрегата в работающих подсистемах, с учетом того, что агрегаты уже отработали время t₁, будет

q₂(t) = n(m – 1)(t₁ + t₂). (3.16)

Из (3.16) время t₂ до отказа первого агрегата в работающих подсистемах, после времени отказа первого агрегата в исходной системе, составит

(3.17)

После отказа второго агрегата в системе остается только одна работающая подсистема, содержащая n(m – 2) = 20 агрегатов. Вероятность ее отказа

q₃(t) = n(m – 2)(t₁ + t₂ + t₃). (3.18)

Из (3.18) выразим

. (3.19)

В соответствии с выражениями (3.15), (3.17) и (3.19):

- первая подсистема откажет с вероятностью равной 1 через t₁ = 166 ч;

- вторая подсистема откажет через t₁ + t₂ = 250 ч;

- система в целом откажет через t₁ + t₂ + t₃ = 500 ч.

Метод обеспечивает возможность определения времени отказа подсистем и системы при произвольном заданном значении вероятности. Так, при вероятности отказа равной 0,6, отказы подсистем произойдут:

- первый через 100 ч;

- второй через 150 ч;

- системы в целом через 300 ч.

По Российским статистическим данным налет на 1 отказ какого либо агрегата на самолете в целом составляет:

- Ту-154М – 33 ч;

- Ту-134А – 23 ч;

- Ил-86 – 27 ч;

- Ил-76 – 7 ч.

Поскольку на самолете Ту-154М отказывают агрегаты нескольких систем, а аналог гидросистемы рассмотренный в работе приближенный, полученное значение налета на отказ агрегата в гидросистеме равное 166 часов следует признать близким к действительному.

Следует отметить, что при традиционном подходе к расчету надежности гидросистемы и моделировании надежности агрегатов распределением с равномерной плотностью, вероятность отказа равная 1 для агрегата, подсистемы и системы в целом, достигается при одном значении времени . При принятом значении =110^-4 это время составляет 10000 ч. Это совершенно не соответствует приведенным выше наработкам на отказ агрегатов в системах самолетов, реализующимся в эксплуатации.

При традиционном подходе вероятность отказа рассматриваемой системы за 1 час 810^-9, но только на отрезке времени [0, 1]. На этом отрезке она определяется и в «ОСТ 1 00132-97. Надежность изделий авиационной техники. Методы количественного анализа безотказности функциональных систем при проектировании самолетов и вертолетов» [55]. Характер изменения вероятности отказа за 1 час приведен на рис. 2.19

При предлагаемом подходе вероятность отказа системы за 1 час не зависит от времени работы и равна 210^-3, что больше чем 810^-9 в 250000 раз.

Обсуждая столь большое различие в вероятностях отказа за 1 час, следует подчеркнуть обстоятельства, обуславливающие это различие. Первое состоит в том, что значение вероятности отказа за 1 час получено по традиционному методу при неправомерном применении теоремы умножения вероятностей к интегральным функциям вероятностей отказов агрегатов. Второе состоит в том, что теорема умножения вероятностей применена не только к распределениям вероятностей отказов агрегатов, но и к вероятностям отсутствия событий отказов. И, наконец, в традиционном методе никак не отражено изменение безотказности системы по мере реализации в ее структуре отказов агрегатов, и, следовательно, процесс их восстановления.

Что касается предлагаемого метода. Поскольку время до отказа первого агрегата в системе в соответствии с (3.15), обратно пропорционально числу параллельно соединенных в системе подсистемm, и ему соответствует вероятность отказа подсистемы , то вероятность отказа системы за 1 час налета на отрезке времени [0,] определится как

=n∙ω (3.20)

Это обозначает не что иное, как независимость вероятности отказа за 1 час налета от числа параллельно включенных подсистем m на отрезке времени [0, ], строго предписанной в Нормах летной годности.

Следует отметить, что с увеличением в системе числа параллельно включенных подсистем одновременно уменьшаются как время до отказа первого агрегата в системе, так и вероятность отказа системы вследствие отказа одной из подсистем. Это увеличивает отрезок времени от моментадо значения времени, соответствующего отказу системы в целом. Естественно увеличивается время на восстановление системы, т.е. на поддержание надежности.

Вероятность отказа системы за 1 час налета, рассчитанная по традиционному методу и равная 8·10^-9 значительно меньше, чем 2·10^-3, но и это значение достаточно мало, чтобы считать его близким к нулю.

Важнейшим аспектом расчета надежности восстанавливаемых систем является учет фактора восстановления, т. е. учет замен отказавших агрегатов систем в процессе эксплуатации. В выражениях вида (2.42) и (2.43) для расчета вероятности отказа систем, восстанавливаемость систем отражена только в виде постоянного значения параметра потока отказов агрегатов . Сам этот факт указывает на то, что агрегаты в системе восстанавливают (заменяют на исправные) при отказах. Но на этом учет восстановления и заканчивается, хотя совершенно ясно, что отказы и замены агрегатов происходят в определенные моменты времени. В традиционном методе расчета, определение времени замен не заложено, так же как и изменение структуры системы по мере реализации в ней отказов агрегатов. Так, рассматриваемая система – аналог гидросистемы самолета Ту-154М откажет только тогда, когда в ее структуре откажут 3 агрегата, по одному в каждой подсистеме. После отказа 1-го агрегата его заменят исправным, но в выражениях (2.42) и (2.43) этот факт отразить невозможно.

В расчете по альтернативному методу время равное 500 ч до отказа системы и вероятность ее отказа за 1 час равная 2  10^-3 определено также без учета процедур восстановления. Но в отличие от традиционного метода, альтернативный метод обеспечивает возможность определения времени t₁ = 166 ч до реализации первого отказа агрегата в системе.

Поскольку традиционный метод расчета надежности систем не обеспечивает учет восстановления агрегатов, для наглядности и сравнения результатов приведем изменения вероятности отказов двух систем. Одна содержит 4 параллельно соединенные подсистемы, каждая из которых содержит по 20 последовательно включенных агрегатов (рисунок 3.10). Другая состоит из четырех параллельно соединенных подсистем, содержащих по 4 последовательно соединенных агрегата (рис. 3.11). На обоих рисунках штрих-пунктирной линией показаны значения вероятности отказа систем, рассчитанные без использования теоремы умножения вероятностей, абсциссы которых умножены на коэффициент 5,66 (рис. 3.10)и на коэффициент 4,5 (рис. 3.11). Такое перестроение выполнено с целью проведения сравнения общего характера изменения вероятностей отказов систем, рассчитанных по традиционному методу и методу без использования теоремы умножения вероятностей. Из рисунков видно, что несмотря на принципиальные различия в методологических подходах к расчету надежности систем, общий характер зависимости вероятности отказа систем от времени можно признать подобным.

Есть и существенные качественные и количественные отличия.

Качественное отличие состоит в том, что при традиционном подходе, зависимость гладкая кривая, а при расчете по методу без использования теоремы умножения вероятностейимеет вид кусочно-линейный.

традиционный метод расчета

метод расчета без использования теоремы умножения вероятностей

смещенная зависимость, построенная по методу без использования теоремы умножения вероятностей

Рисунок 3.10 – Вероятность отказа невосстанавливаемой системы

при m=4, n=20 и

Количественные отличия состоят в том, что вероятность отказа установленная в Нормах летной годности, определенная за 1 час налета, при использовании метода без применения теоремы умножения вероятностей, больше определенной при традиционном подходе в первом случае (рис. 3.10) в 1,2510⁸ раз и во втором случае (рис. 3.11) в 1,5610¹⁰ раз.

традиционный метод расчета

метод расчета без использования теоремы умножения вероятностей

смещенная зависимость, построенная по методу без использования теоремы умножения вероятностей

Рисунок 3.11 – Вероятность отказа невосстанавливаемой системы при

m=4, n=4 и

Продолжительность типового полета самолета Ту-154М составляет 3 часа. Это обеспечивает возможность определить среднее время полета с одним отказавшим в системе агрегатом до его замены как 1,5 часа. Сопоставляя время до отказа 166 ч и до замены 1,5 часа допустимо считать, что замена агрегата осуществляется сразу же после его отказа. Это означает не что иное, как поддержание уровня надежности системы, определяемое ее наработкой в интервале от 0 до 166 часов вне зависимости от налета самолета.

***

Предлагаемый метод расчета надежности сложных систем без использования теорем умножения и сложения вероятностей, учитывает дискретность моментов отказов агрегатов и определяет значение наработок до отказа, согласующихся с достигаемыми в практике эксплуатации.

***

Здесь еще раз уместно остановиться на проблеме моделирования надежности агрегатов (элементов систем), основу которого составляют результаты лабораторных, либо длительных испытаний в условиях серийной эксплуатации. Статистика наработок на отказ агрегатов на самолетах, приведенная ранее, является федеральной статистикой. Наработки на отказ в ней определены по базе, содержащей информацию о большом числе отказов. В связи с этим, приведенные значения наработок правомерно определить как математические ожидания наработок на отказ по типам самолетов.

Приведенные наработки определены по фактическим отказам, т.е. по отказам, реализовавшимся с вероятностью равной 1, и на весьма ограниченных отрезках времени от 7 до 33 часов. Но в соответствии с широко используемой в надежности экспоненциальной моделью, этот зафиксированный факт представляется невозможным. На этих же отрезках времени, вероятность отказа, определенная при экспоненциальной модели, равна 0,632, что далеко не 1. Вероятность отказа, равная 1, достигается только на бесконечно большом интервале времени. Этот факт является весомым подтверждением неадекватности экспоненциальной модели надежности агрегатов.