14. Математическое ожидание дискретных и непрерывных св.

Математическое ожидание случайной величины

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Пусть - дискретная случайная величина, определенная на вероятностном пространстве, с конечным множеством возможных значенийи- вероятности, с которыми эти значения принимаются, то есть задан закон распределения дискретной случайной величины:

Определение.Математическим ожиданиемдискретной случайной величины, принимающей значенияс вероятностями, называется величина, (2.7)

если ряд в правой части абсолютно сходится: .

Если ряд в правой части абсолютно расходится, то говорят, что математического ожидания у дискретной случайной величины не существует.

Замечание. Естественно, что вопрос о сходимости ряда встает только в случае, когда множество возможных значений дискретной случайной величины бесконечно (но счетно). У дискретной случайной величины, принимающей конечное число значений, математическое ожидание существует всегда.

Пусть теперь - непрерывная случайная величина, определенная на вероятностном пространствеи имеющая плотность вероятностей. Для определения ее математического ожидания построим следующую дискретную случайную величину, аппроксимирующую непрерывную случайную величину.

Для некоторого рассмотрим точки видана числовой прямой и положим

, если,.

Случайная величина принимает значенияс вероятностями

,

(при малом ).

При любом и придискретная случайная величинавсе точнее аппроксимирует непрерывную случайную величину.

При этом,

если ряд сходится абсолютно. Последняя сумма является интегральной суммой для интеграла, который и следует считать математическим ожиданием непрерывной случайной величины.

Определение.Математическим ожиданиемнепрерывной случайной величиныс плотностью вероятностейназывается величина, (2.8)

если интеграл в правой части абсолютно сходится: .

Если интеграл в правой части абсолютно расходится, то говорят, что математического ожидания у непрерывной случайной величины не существует.

Замечание. Формулы (2.7) и (2.8) для математического ожидания дискретной и непрерывной случайных величин можно объединить в одну, записав математическое ожидание в виде:,

где последний интеграл понимается в смысле Римана-Стилтьеса по функции распределения

Еще более общим является представление математического ожидания в виде интеграла Лебега:

Механическая интерпретация математического ожидания.

Если закон распределения интерпретировать как распределение единичной массы вдоль оси абсцисс, то математическое ожидание – координата центра тяжести (центра масс).

Геометрическая интерпретация математического ожидания.

Математическое ожидание – среднее значение случайной величины, около которого группируются другие ее значения (иногда вместо математическое ожидание случайной величины говорят среднее случайной величины).

Геометрическая иллюстрация:

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\