Способы представления статистических данных

Пусть – выборка из генеральной совокупности, имеющей ФР.

Номер испытания
Результат наблюдения

Выборка является исходной информацией для статистического анализа и принятия решений. В зависимости от дальнейших целей существует несколько способов представления статистических данных.

Простейший из них: в виде статистического ряда.

Если среди элементов выборки имеются совпадающие, то статистический ряд записывают в виде:

Результат наблюдения
Частота
Относительная частота

где– различные значения среди,

– частота значения,

–относительнаячастота. Очевидно, что,. Совокупность пар,называют эмпирическим ЗР. А саму таблицу – таблицей частот.

Если упорядочить по возрастанию, то получается так называемый вариационный ряд:

,,

Число – размах выборки. Способом представления статистических данных, дающем представление о неизвестной ФР, наблюдаемой с.в. является эмпирическая ФР (ЭФР).

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

41. Эмпирическая функция распределения и ее свойства.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Пусть – выборка объемаиз генеральной совокупности, имеющей ФР.

Опр. ЭФР, соответствующей выборке называется функция

, где ,– число элементов выборки, строго меньших,– теоретическая ФР.Где - индикатор множества, а- число выборочных значений, не превосходящих.

Для каждой выборки , ЭФРопределена на всей числовой прямойи обладает всеми свойствами обычной ФР:

1.

2. неубывающая

3. непрерывная слева

4. кусочно-постоянная функция и может возрастать только в точках вариационного ряда:

Если все значения различны, то

В общем случае , где– частота значения, а– различные среди.

ЭФР является обычной ФР ДСВ:

Однако существует и принципиальное отличие между ЭФР и обычной ФР:

ЭФР может изменяться от выборки к выборке и притом случайным образом, поскольку в общем сучае ЭФР является с.в.: , где– копии.

Важнейшим свойством ЭФР является то, что независимо от конкретной выборки из генеральной совокупности при увеличении числа наблюдений над с.в. она сближена с неизвестной теоретической ФР.

Теорема. Пусть – ЭФР, соответствующая выборка из генеральной совокупности, имеющей теоретическая ФР, тогда:

, (имеет место поточечная сходимость)

Доказательство:

принимает два значения: 0 и 1.

, , т.к. с.в.– копии.

,

,

Поскольку последовательность с.в. – последовательность независимых одинаково распределенных с.в., имеющих конечную дисперсию, то эта последовательность удовлетворяет ЗБЧ, следовательно,

,

Т.о. ЭФР при большихв каждой точкеможно считать приближенным значением (оценкой) неизвестной ФР

Справедлив и следующий более сильный результат.

Теорема Гливенко.

В условиях предыдущей теоремы:

Отклонение ЭФР отпри большихможет как угодно малым на всей числовой прямой.

Следующий резуьтат, принадлежащий Колмогорову, позволяет при больших оценивать вероятности заданных отклонений с.в.от нуля.

Теорема Колмогорова.

Если теоретическая ФР является непрерывной, то

Функция доопределенная нулем приявляется ФР и называется функцией Колмогорова. Значения этой функции табулированы. Теорема Колмогорова дает приличное приближение при.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\