- •1. Случайный эксперимент. Пространство элементарных событий. Случайные события и операции над ними.
- •2. Классическое определение вероятности (ков). Урновая схема. Пример.
- •3. Геометрическое определение вероятности. Пример.
- •4. Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностное пространство. Свойства вероятности.
- •5. Условная вероятность и ее свойства. Правило и теорема умножения вероятностей.
- •6. Независимость событий. Свойства независимых событий. Независимость в совокупности.
- •7. Формулы полной вероятности и Байеса. Пример.
- •8. Схема независимых испытаний Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов.
- •9. Понятие случайной величины (св). Функция распределения св и ее свойства.
- •10. Дискретные св. Закон распределения (зр) дискретной св.
- •11. Важнейшие дискретные св.
- •12. Непрерывные св. Плотность вероятностей и ее свойства.
- •13. Важнейшие непрерывные св.
- •14. Математическое ожидание дискретных и непрерывных св.
- •15. Основная теорема о мо. Свойства мо.
- •16. Моменты, дисперсия и среднеквадратическое отклонение св. Свойства дисперсии.
- •17. Числовые Характеристики важнейших св.
- •18. Случайные векторы. Функция распределения случайного вектора и ее свойства.
- •19. Дискретные случайные векторы. Закон распределения дискретного случайного вектора.
- •20. Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей случайного вектора и ее свойства.
- •21. Равномерное распределение в области на плоскости. Равномерные распределения в прямоугольнике и в круге.
- •22. Независимость случайных величин. Условия независимости. Независимость в совокупности.
- •23. Условные законы распределения. Условная плотность вероятностей и ее свойства. Условные числовые характеристики.
- •24. Числовые характеристики случайных векторов. Корреляционная матрица и ее свойства. Понятие о моментах случайных векторов.
- •Понятие о моментах
- •25. Теоремы о числовых характеристиках.
- •26. Некоррелированные св. Связь между некоррелированностью и независимостью. Пример.
- •27. Коэффициент корреляции, его свойства и вероятностный смысл.
- •28. Многомерное нормальное распределение и его свойства.
- •29. Функции от св и их законы распределения.
- •Функции случайных аргументов
- •Функции от случайных величин
- •Функции от случайных векторов
- •30. Закон распределения суммы св. Композиция (свертка) законов распределения. Пример.
- •31. Неравенство Чебышева. Виды сходимости последовательностей св и связь между ними.
- •Неравенство Чебышева
- •Виды сходимости последовательностей с.В. И связи между ними.
- •32. Закон больших чисел (збч) для последовательностей св. Теоремы Маркова и Чебышева.
- •33. Збч для последовательностей независимых одинаково распределенных св. Задача об измерениях. Теорема Бернулли и ее применение.
- •34. Характеристическая функция св и ее свойства.
- •Свойства хф.
- •35. Характеристические функции важнейших св. Устойчивость нормального закона распределения.
- •Характеристические функции случайных векторов
- •36. Сходимость распределений (слабая сходимость) и ее связь со сходимостью по вероятности. Теорема непрерывности.
- •37. Центральная предельная теорема (цпт) для независимых одинаково распределенных св. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
- •38. Цпт для независимых разнораспределенных св: теоремы Линдеберга и Ляпунова. Смысл условия Линдеберга. Асимптотическая нормальность.
- •39. Теорема Хинчина. Понятие об усиленном збч.
- •40. Статистическая модель. Генеральная совокупность (гс), выборка, объем выборки. Простейшие способы представления статистических данных.
- •Способы представления статистических данных
- •41. Эмпирическая функция распределения и ее свойства.
- •42. Гистограмма и полигон частот.
- •Интервальный статистический ряд.
- •Вероятностный смысл гистограммы
- •43. Выборочные (эмпирические) числовые характеристики. Выборочное среднее и выборочная дисперсия.
- •44. Точечные оценки неизвестных параметров распределений. Требования, предъявляемые к точечным оценкам.
- •Точечные оценки неизвестных параметров распределения.
- •45. Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии как точечных оценок мо и дисперсии соответственно.
- •46. Метод моментов получения точечных оценок. Свойства оценок, найденных по методу моментов. Пример.
- •Метод моментов.
- •47. Метод максимального правдоподобия. Свойства оценок максимального правдоподобия. Пример.
- •48. Интервальные оценки неизвестных параметров распределений. Доверительные интервалы (ди) для мо нормально распределенной гс (при известной и неизвестной дисперсии).
- •49. Ди для дисперсии нормально распределенной гс (при известном и неизвестном мо).
- •50. Асимптотические ди для мо и дисперсии произвольно распределенной гс.
- •51. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки простой гипотезы о виде распределения.
- •52. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки сложной гипотезы о виде распределения.
- •53. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки гипотезы независимости.
39. Теорема Хинчина. Понятие об усиленном збч.
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
В действительности требования конечности дисперсии в ЗБЧ для независимых одинаково распределенных с.в. связано исключительно со способом доказательства и на самом деле это утверждение остается справедлвым и без предположения конечности дисперсии.
Теорема Хинчина. Любая последовательностьнезависимых одинаково распределенных с.в., имеющих конечное МО, подчиняется ЗБЧ, т.е.
.
Доказательство:
Т.к. сходимость по вероятности к константе эквивалентна слабой сходимости (см. Лемму), то достаточно доказать слабую сходимость.
В соответствии с теоремой о непрерывности эта сходимость имеет место, если ил тоько если ХФ
Вычислим ХФ .
Так как МО существует и равно, то ХФможно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки 0.
.
Следовательно, ХФ
При , используя замечательный предел, получаем:
На самом деле в условии теоремы Хинчина имеет место сходимость не только по вероятности, но и почти наверное.
Теорема Колмогорова(Усиленный ЗБЧ)
Если – последовательность независимых одинаково распределенных с.в., имеющих конечное МО, то
Центральная предельная теорема. (ЦПТ)
Пусть – последовательность независимых одинаково распределенных с.в., имеющих конечное МО и дисперсии
Пусть . Тогда в соответствии с ЗБЧ
или, в соответствии со свойствами сходимости по вероятности:
Возникает вопрос:
При делении на в пределе получается 0. Нельзя ли поделить на что-то, возрастающее кмедленнее, чем, чтобы предел не был равен нулю.
Оказывается, что уже к нулю не стремится, при этомстановится все более похоже на нормальный ЗР, т.е. имее место слабая сходимость последовательности ФР с.в.:
к ФР нормального закона.
Это и есть смысл ЦПТ.
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
40. Статистическая модель. Генеральная совокупность (гс), выборка, объем выборки. Простейшие способы представления статистических данных.
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Вероятностная модель случайных явлений основана на понятии вероятностного пространства . При этом в каждой конкретной ситуации вероятностьсчитается полностью известной числовой функцией на-алгебре, т.е.считается известной. Задача теории вероятностей состоит в том, чтобы находить вероятности сложных событий через известные вероятности простых событий. Однако на практике вероятностькак правило неизвестна. Можно только предположить, что истинная вероятностьявляется элементом некоторого класса вероятностей, допустимых для описания данного случайного явления.
Тройка – статистическая модель.
Цель математической статистики в общем случае – уточнение вероятностной модели случайного явления, т.е. отыскание истинной вероятности или близкой к ней, основываясь на наблюдаемых результатах эксперимента, называемых статистическими данными.
В классической МС имеют дело со случайными экспериментами, состоящими в проведении повторных независимых наблюдений над с.в., имеющей неизвестное распределение вероятностей, т.е. имеющей неизвестную.
В этом случае множество всех возможных значений с.в.называют генеральной совокупностью.
Числа ,,являющиеся результатомнезависимых наблюдений над с.в., называют выборкой из генеральной совокупности,– объемом выборки.
Задача математической статистики: как по выборке из генеральной совокупности, иеющей ФР , извлекая из нее максимум информации, сделать обоснованные статистические выводы о неизвестных вероятностных характеристиках с.в..
Замечание. Обосновать качество статистических выводов на основе одной конкретной выборки принципиально нельзя. Выборка – это чисел, случайно отобранных из генеральной совокупности. И то, что верно для одной выборки, может оказаться неверным для другой.
Поэтому при рассмотрении теоретических вопросов и задач, когда необходимо получить результат, справедливый для любой выборки, на выборку следует смотреть как на случайный вектор , у которого все координатынезависимы и распределены так же, как и с.в..
В этом случае – копии с.в.. Т.е. смотреть на выборку априорно на случайный вектор, который еще не принял своего конкретного значения.
Под статистической моделью, отвечающей повторным неизменным наблюдениям над с.в. , понимают тройку, где:
– генеральная совокупность,
– борелевская-алгебра подмножеств,
– класс допустимых функций распределения для с.в., к которому принадлежит и истинная неизвестная ФР .
Если ФР из класса заданы с точностью до значений параметра, принимающего значения множества(т.е.), то статистическую модель называют параметрической. При этом говорят, что известен тип распределения наблюдаемой с.в., а неизвестен только параметр, от которого распределение зависит.может быть как скаляром, так и вектором.
Статистические модели бывают непрерывными (НСВ) и дискретными (ДСМ), в соответствии с тем, какой является наблюдаемая с.в.
Примернепрерывной параметрической модели.
– общая параметрическая нормальная модель. Наблюдаемая с.в.имеет нормальный ЗР с неизвестными.
.
имеют плотности вероятностей
Примердискретной параметрической модели:
– дискретная с.в., имеющая пуассоновский ЗР с неизвестным параметром.
:,
Задачи, решаемые в математической статистике, можно разбить на две большие группы:
1) Задачи, связанные с определением неизвестного ЗР наблюдаемой с.в. и параметров в него входящих. Задачи решаются в рамках теории оценивания.
2) Задачи, связанные с проверкой гипотез относительно ЗР наблюдаемой с.в.. Решаются в рамках теории проверки статистических гипотез.