24. Числовые характеристики случайных векторов. Корреляционная матрица и ее свойства. Понятие о моментах случайных векторов.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Рассмотрим вначале двумерный случайный вектор .

Прежде, чем приводить соответствующие определения, сформулируем обобщение основной теоремы о математическом ожидании (ОТМО) на случай функции двух переменных .

Теорема (обобщение ОТМО на двумерный случай).

Пусть - некоторый случайный вектор, закон распределения которого известен,- неслучайная функция, область определения которой содержит множество возможных значений случайного вектора,- случайная величина, являющаяся функцией двух случайных аргументов.

1. Если - дискретный случайный вектор, принимающий значенияс вероятностями, и рядсходится, то у случайной величинысуществует математическое ожидание и.

2. Если - непрерывный случайный вектор с плотностью вероятностейи несобственный интегралсходится, то у случайной величинысуществует математическое ожидание и

.

Заметим, что приведенная теорема очевидным образом обобщается и на случай функции переменных.

Теперь перейдем к рассмотрению числовых характеристик случайных векторов.

Основными числовыми характеристикамидвумерного случайного вектораявляются:

• математическое ожидание- вектор, координатами которого являются математические ожидания случайных величини(характеризует координаты средней точки, около которой группируются другие значения вектора);

• дисперсия- вектор, координатами которого являются дисперсии случайных величини(характеризует степень разброса (рассеивания) значений вектораоколо его среднего значения);

• корреляционный моментслучайных величини, которым называется математическое ожидание произведения отклонений этих случайных величин относительно их математических ожиданий:

. (3.17)

Как будет показано далее, корреляционный момент характеризует степень линейной зависимости между случайными величинамии.

Для корреляционного момента справедливо также следующее выражение:

.

Таким образом, наряду с (3.12),

. (3.18)

Корреляционный момент обладает следующими двумя очевидными свойствами:

1. ;

2. .

Благодаря этим свойствам, вектор дисперсий можно не рассматривать как самостоятельную числовую характеристику, а использовать объединенную характеристику – корреляционную матрицу, элементами которой являются всевозможные корреляционные моменты:

.

Таким образом, можно считать, что случайный вектор имеетдве основные числовые характеристики:

• математическое ожидание ;

• корреляционную матрицу .

Математические ожидания и дисперсиикоординат случайного векторамогут быть вычислены как по двумерному закону распределения с помощью обобщения ОТМО на двумерный случай, так и по обычным формулам через одномерные законы распределения случайных величини.

Так, если - дискретный случайный вектор, то приимеем:

, где,

а при или

, где.

Аналогичны выражения для и(написать самостоятельно).

Корреляционный момент вычисляется с помощью обобщения ОТМО на двумерный случай, когда функцияилиитолькочерез двумерный закон распределения:

если - дискретный случайный вектор, то

;

если - непрерывный случайный вектор, то

.

Многомерный случай.

Основными числовыми характеристики -мерного случайного вектораявляются:

• математическое ожидание ;

• корреляционная матрица , элементами которой являются всевозможные попарные корреляционные моменты координат:.

Свойства корреляционной матрицы.

1. Матрица является симметрической размера:,.

2. На диагонали матрицы расположены дисперсии координат случайного вектора:,.

3. Матрица является неотрицательно определенной матрицей, то есть для любогои для любых действительных чисел

.

▲ Обозначим - центрированную случайную величины,. Тогдаи для произвольных чиселимеем:

■.

Наряду с корреляционной матрицей , иногда рассматривают нормированную корреляционную матрицу, элементами которой являются всевозможные попарные коэффициенты корреляции координат:. Отличие ее от просто корреляционной матрицы состоит в том, что у нормированной корреляционной матрицы все диагональные элементы равны 1:.