Понятие о моментах

Наряду с рассмотренными выше числовыми характеристиками случайных векторов, в приложениях используются также и моменты более высоких порядков.

Если задан случайный вектор , то величины

и

называются начальными и центральными смешанными моментамипорядкасоответственно (). Вычисляются моменты более высоких порядков по формулам для, вытекающим из обобщения ОТМО на многомерный случай.

В частности,

.

Пример 1. Закон распределения случайного векторазадан таблицей:

	0	1	2
-1	0,1	0,2	0
0	0,3	0	0,1
1	0,1	0,2	0

Найти: 1) законы распределения случайных величин и. Являются ли случайные величиныинезависимыми?

2) корреляционную матрицу. Являются ли случайные величины инекоррелированными?

3) условный закон распределения случайной величины при условии, что случайная величинаприняла значение, равное 0; вычислитьи.

Решение. 1) Для случайной величинывероятности её значенийнаходятся суммированием вероятностейв-ой строке таблицы ():

Поэтому закон распределения случайной величины имеет вид:

	-1	0	1
	0,3	0,4	0,3

Вероятности значений случайной величины находятся суммированием вероятностейв-ом столбце таблицы ():

.

Поэтому закон распределения случайной величины имеет вид:

	0	1	2
	0,5	0,4	0,1

Условием независимости случайных величин иявляется равенство:

, для всех.

Поскольку в данном случае

, то

и, следовательно, случайные величины изависимы.

2) Найдем математические ожидания случайных величин и, используя одномерные законы распределения:

;

.

Найдем далее дисперсии ипо одномерным законам распределения:

;

.

Корреляционный моментнаходится только по совместному закону распределения случайных величини:

(отсутствующие слагаемые равны 0).

Поскольку корреляционный момент , то случайные величиныиявляютсянекоррелированными.

Корреляционная матрица имеет вид:

.

3) Условный закон распределения случайной величины при условии, что случайная величинаопределяется совокупностью условных вероятностей:

,

которые равны: .

Записывается условный закон распределения случайной величины при условии, что случайная величинав виде таблицы:

	0	1	2
		0

Найдем условное математическое ожидание :

.

Условная дисперсия вычисляется по формуле:

.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

25. Теоремы о числовых характеристиках.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Теорема 1 (теорема сложения математических ожиданий).

Математическое ожидание суммы двух любыхслучайных величиниравно сумме их математических ожиданий:

.

▲ Докажем теорему в непрерывном случае, в дискретном случае доказать самостоятельно.

Из обобщения ОТМО на двумерный случай при имеем:

■.

По индукции теорема 1 обобщается на сумму любого конечного числа случайных величин:

.

Теорема 2 (теорема умножения математических ожиданий).

Математическое ожидание произведения двух независимыхслучайных величиниравно произведению их математических ожиданий:

.

▲ Докажем теорему в непрерывном случае, в дискретном случае доказать самостоятельно.

Если непрерывные случайные величины иявляются независимыми, то. Поэтому из обобщения ОТМО на двумерный случай приимеем:

■.

По индукции теорема 2 обобщается на произведение любого конечного числа независимых (в совокупности) случайных величин:

.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\