49. Ди для дисперсии нормально распределенной гс (при известном и неизвестном мо).

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\Доверительный интервал для дисперсии наблюдаемой случайной величины, распределенной по нормальному закону, приизвестном математическом ожидании имеет вид:

где числа естьквантили распределения хи -квадратсnстепенями свободы соответственно. Квантили распределения хи - квадрат находят по заданнымииз табл. П4.

Доверительный интервал для дисперсиинаблюдаемой случайной величины, распределенной по нормальному закону, принеизвестном математическом ожиданииимеет вид:

где - выборочная дисперсия, а– соответствующие квантили распределения.

Замечание:Все приведенные доверительные интервалы, рассчитанные для заданной выборки, являются обычными числовыми интервалами, внутри которых неизвестный параметр находится в100% случаев.\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

50. Асимптотические ди для мо и дисперсии произвольно распределенной гс.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

При больших (практически при) с использованием центральной предельной теоремы можно показать, чтоприближенным (асимптотическим) доверительным интервалом для дисперсиинормально распределеннойслучайной величиныс неизвестным математическим ожиданиемявляется интервал

Фактически это означает, что для квантилей распределения хи - квадрат иприимеют место приближенные формулы:

Если распределение наблюдаемой случайной величины произвольное (не обязательно нормальное), то, используя асимптотическую нормальность выборочных моментов, можно показать, что при больших объемах выборкиприближенными (асимптотическими) доверительными интервалами для математического ожидания и дисперсииявляются:

где - выборочное среднее,- выборочная дисперсия,,- выборочный центральный момент четвертого порядка.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

51. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки простой гипотезы о виде распределения.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Статистической гипотезойназывают любое утверждение о виде или свойствах наблюдаемых в эксперименте случайных величин. Правило, позволяющее по имеющимся статистическим данным (выборке) принять или отклонить выдвинутую гипотезу, называетсястатистическим критерием. Если формулируется только одна гипотезаи требуется проверить, согласуются ли статистические данные с этой гипотезой или же они ее опровергают, то критерии, используемые для этого, называютсякритериями согласия. Если гипотезаоднозначно фиксирует закон распределения наблюдаемой случайной величины, то она называется простой, в противном случае — сложной. Пусть относительно наблюдаемой случайной величинысформулирована некоторая гипотеза,- выборка объема, являющаяся реализацией случайного вектора, координаты которогонезависимы и распределены так же, как.

Общий метод построения критерия согласия для проверки гипотезы состоит в следующем. Вначале ищут статистику(случайную величину!), характеризующую отклонение эмпирического распределения от теоретического, закон распределения которой в случае справедливостиможно определить (точно или приближенно). Далее задают некоторое положительное малое число, так что событие с вероятностьюможно считать практически невозможным в данном эксперименте. Затем для заданногоопределяют в множествевозможных значений статистикиподмножество, так чтобы.

Критерий согласия имеет следующий вид:

• если значение статистики, соответствующее данной выборкеи, то гипотезаотвергается;

• если , то гипотезапринимается.

Статистика называетсястатистикой критерия, множество-критической областьюдля гипотезы, число-уровнем значимостикритерия.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\