5. Условная вероятность и ее свойства. Правило и теорема умножения вероятностей.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Информация о наступлении одного события может повлечь изменение шансов появления другого.

Пусть - конечное пространство равновозможных элементарных исходов.– некоторые события. Вероятность, того, что событиепроизойдет равно, если же известно, что событиепроизошло, то следует выбрать новое вероятностное пространство, и рассматривать событие. Т.о. вероятность того, что событиепроизойдет, при условии, чтоуже произошло:

.

Полученное выражение для и принимается за определение условной вероятности.

Опр Пусть - некоторое вероятностное пространство,. Условной вероятностью события, при условии, чтоуже произошло называется величина:.

Условная вероятность при фиксированномудовлетворяет всем аксиомам вероятности, а именно:

1. (аксиома неотрицательности);

2. (аксиома нормированности);

3. .

Т.к. .

Из справедливости этих аксиом, можно утверждать, что условная вероятность обладает всеми свойствами вероятностей.

Из определения условной вероятности вытекает правило умножения вероятностей:

,.

Обобщим правило умножения на случай счетного числа событий (теорема умножения):

.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

6. Независимость событий. Свойства независимых событий. Независимость в совокупности.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

События являются независимыми, если появление одного из этих событий не меняет вероятности другого.

Опр Говорят, что событие не зависит от, если, иначе события зависимы.

Покажем, что понятие независимости является симметричным: пусть , тогда

.

В силу симметрии говорят, что события инезависимы.

Из правила умножения вытекает следующее симметричное определение независимых событий: события инезависимы, если- вероятность факторизуется.

Свойства независимых событий:

1. Если инезависимы, то независимыми являются такжеи,и,и.

.

Остальное доказывается аналогично.

2. Если не зависит оти, которые являются несовместимыми, тоне зависит от.

.

Если рассматривать более 2-х событий вводится понятие независимости в совокупности:

Пусть - некоторые события на вероятностном пространстве. Событияназываются независимыми в совокупности, если:

.

Для получим, что независимость из независимости в совокупности следует попарная независимость, обратное утверждение не верно.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

7. Формулы полной вероятности и Байеса. Пример.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Пусть - ПГС, причеми- известны. Найдем.

- слагаемые справа попарно несовместны с учетом аддитивности вероятности и правилом умножения получим:

- формула полной вероятности.

- гипотезы, отметим, что , т.к. гипотезы составляют ПГС.

Пусть с экспериментом связано - гипотез, вероятности которых известны, также известно, что гипотезасообщает событиювероятность. Предположим, что после проведение эксперимента событиепроизошло. Этот факт приводит к переоценке первоначальных вероятностей гипотез.

- формула Байеса, где

- априорные вероятности гипотез;

- апостериорные вероятности гипотез.

Пример:

По каналу связи с помехами передаются бинарные символы (0 и 1). Вероятность искажения символа в канале равна . Вероятности символов на входе каналов:и. На выходе принят сигнал соответствующий. Какова вероятность того, что на входе также была.

Решение:

. Т.о. необходимо найти апостериорную вероятность .

Очевидно, и. По формуле Байеса получим:

; .

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\