- •1. Случайный эксперимент. Пространство элементарных событий. Случайные события и операции над ними.
- •2. Классическое определение вероятности (ков). Урновая схема. Пример.
- •3. Геометрическое определение вероятности. Пример.
- •4. Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностное пространство. Свойства вероятности.
- •5. Условная вероятность и ее свойства. Правило и теорема умножения вероятностей.
- •6. Независимость событий. Свойства независимых событий. Независимость в совокупности.
- •7. Формулы полной вероятности и Байеса. Пример.
- •8. Схема независимых испытаний Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов.
- •9. Понятие случайной величины (св). Функция распределения св и ее свойства.
- •10. Дискретные св. Закон распределения (зр) дискретной св.
- •11. Важнейшие дискретные св.
- •12. Непрерывные св. Плотность вероятностей и ее свойства.
- •13. Важнейшие непрерывные св.
- •14. Математическое ожидание дискретных и непрерывных св.
- •15. Основная теорема о мо. Свойства мо.
- •16. Моменты, дисперсия и среднеквадратическое отклонение св. Свойства дисперсии.
- •17. Числовые Характеристики важнейших св.
- •18. Случайные векторы. Функция распределения случайного вектора и ее свойства.
- •19. Дискретные случайные векторы. Закон распределения дискретного случайного вектора.
- •20. Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей случайного вектора и ее свойства.
- •21. Равномерное распределение в области на плоскости. Равномерные распределения в прямоугольнике и в круге.
- •22. Независимость случайных величин. Условия независимости. Независимость в совокупности.
- •23. Условные законы распределения. Условная плотность вероятностей и ее свойства. Условные числовые характеристики.
- •24. Числовые характеристики случайных векторов. Корреляционная матрица и ее свойства. Понятие о моментах случайных векторов.
- •Понятие о моментах
- •25. Теоремы о числовых характеристиках.
- •26. Некоррелированные св. Связь между некоррелированностью и независимостью. Пример.
- •27. Коэффициент корреляции, его свойства и вероятностный смысл.
- •28. Многомерное нормальное распределение и его свойства.
- •29. Функции от св и их законы распределения.
- •Функции случайных аргументов
- •Функции от случайных величин
- •Функции от случайных векторов
- •30. Закон распределения суммы св. Композиция (свертка) законов распределения. Пример.
- •31. Неравенство Чебышева. Виды сходимости последовательностей св и связь между ними.
- •Неравенство Чебышева
- •Виды сходимости последовательностей с.В. И связи между ними.
- •32. Закон больших чисел (збч) для последовательностей св. Теоремы Маркова и Чебышева.
- •33. Збч для последовательностей независимых одинаково распределенных св. Задача об измерениях. Теорема Бернулли и ее применение.
- •34. Характеристическая функция св и ее свойства.
- •Свойства хф.
- •35. Характеристические функции важнейших св. Устойчивость нормального закона распределения.
- •Характеристические функции случайных векторов
- •36. Сходимость распределений (слабая сходимость) и ее связь со сходимостью по вероятности. Теорема непрерывности.
- •37. Центральная предельная теорема (цпт) для независимых одинаково распределенных св. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
- •38. Цпт для независимых разнораспределенных св: теоремы Линдеберга и Ляпунова. Смысл условия Линдеберга. Асимптотическая нормальность.
- •39. Теорема Хинчина. Понятие об усиленном збч.
- •40. Статистическая модель. Генеральная совокупность (гс), выборка, объем выборки. Простейшие способы представления статистических данных.
- •Способы представления статистических данных
- •41. Эмпирическая функция распределения и ее свойства.
- •42. Гистограмма и полигон частот.
- •Интервальный статистический ряд.
- •Вероятностный смысл гистограммы
- •43. Выборочные (эмпирические) числовые характеристики. Выборочное среднее и выборочная дисперсия.
- •44. Точечные оценки неизвестных параметров распределений. Требования, предъявляемые к точечным оценкам.
- •Точечные оценки неизвестных параметров распределения.
- •45. Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии как точечных оценок мо и дисперсии соответственно.
- •46. Метод моментов получения точечных оценок. Свойства оценок, найденных по методу моментов. Пример.
- •Метод моментов.
- •47. Метод максимального правдоподобия. Свойства оценок максимального правдоподобия. Пример.
- •48. Интервальные оценки неизвестных параметров распределений. Доверительные интервалы (ди) для мо нормально распределенной гс (при известной и неизвестной дисперсии).
- •49. Ди для дисперсии нормально распределенной гс (при известном и неизвестном мо).
- •50. Асимптотические ди для мо и дисперсии произвольно распределенной гс.
- •51. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки простой гипотезы о виде распределения.
- •52. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки сложной гипотезы о виде распределения.
- •53. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки гипотезы независимости.
Характеристические функции случайных векторов
Характеристической функцией случайного вектора называется комплекснозначная функциявещественных переменных, определяемая для любогоравенством:
или в векторной форме ,
где означает скалярное произведение векторов.
Характеристическая функция случайного вектора обладает всеми свойствами (с очевидными изменениями в формулировках) одномерной характеристической функции. Но есть и дополнительные полезные свойства.
По характеристической функциислучайного вектораможно найти характеристическую функцию любой группы изего координат. Для этого следует положить аргументыпри.
Так, например, характеристическая функция «отрезка» случайного вектораравна,
а характеристическая функция любой координаты вектораравна
.
Если- характеристическая функция случайного вектора, то характеристическая функция суммы его координатравна,
то есть следует положить все .
Задача 1. Найти характеристическую функцию двумерного нормального случайного вектора.
Ответ: .
Задача 2. Найти характеристическую функцию суммы двумерного нормального случайного вектораи по ней определить закон распределения случайной величины.
Ответ: .
Задача 3. Найти характеристическую функцию многомерного нормального случайного вектора.
Ответ: .
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
36. Сходимость распределений (слабая сходимость) и ее связь со сходимостью по вероятности. Теорема непрерывности.
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Сходимость распределений (слабая сходимость).
Это еще один способ характеристики близости СВ, основанный на понятии сходимости их ФР друг к другу.
Пусть заданы последовательность случайных величин , имеющих функции распределения, и случайная величинас функцией распределения. Было бы естественно считать, что, если случайная величина, то ее закон распределения сходится прик закону распределения случайной величины. Однако требовать при этом равномерную сходимость ФР величин,неразумно, т.к. она не будет иметь место, если ФР с.в.имеет хотя бы один разрыв. Поэтому сходимость ФР понимают в смысле следующего определения.
Опр. Пусть – последовательность с.в., имеющих ФР,– с.в. с ФР. Говорят, чтослабо сходится к ФР, еслив каждой точке, являющейся точкой непрерывности предельной ФРи пишут
Смысл слабой сходимости – это поточечная сходимость ФР в точках непрерывности предельной ФР.
При этом также говорят, что слабо (или по распределению) сходится к СВ:
Важно выделить следующий частный случай:
Лемма. Если предельная ФР является непрерывной, то(слабая сходимость) эквивалентна равномерной сходимости:.
Лемма. (Соотношение между слабой сходимостью и сходимостью по вероятности).
1) Из сходимости по вероятности следует слабая сходимость
2) Если предельное распределение является вырожденным, то слабая сходимость и сходимость по вероятности эквивалентны:
если , то
Доказательство:
1) Пусть – точка непрерывности. Докажем, что если, то
Оценим вероятности исверху и снизу:
Для :
Для :
.
Так как , то, т.е.
При
2)
имеет место для , являющихся точкой непрерывности предельной Р, т.е. для.
Докажем, что .
т.к. точки и– точки непрерывности. Т.е..
В отличие от сходимости по вероятности слабая сходимость не сохраняется при операциях сложения и умножения СВ. Это справедливо только когда одно из распределений является вырожденным.
Свойства:
1. Если ,, то
2. Если ,, то
Замечательный факт состоит в том, что слабую сходимость распределений можно полностью охарактеризовать с помощью ХФ.
Теорема непрерывности.
Пусть – последовательность ФР, а– последовательность соответствующих им ХФ.
Для слабой сходимости необходимо и достаточно, чтобы, где– ХФ, соответствующая ФР.
Смысл теоремы: она устанавливает, что соответствие между ФР и ХФ является не только взаимно однозначным, но и непрерывным в том слмысе, что пределу в классе ФР оносительно слабой сходимости соответствует предел в классе ХФ относительно поточечной сходимости.
Теорема непрерывности является основным средством доказательства теорем о слабой сходимости распределения на числовой прямой.
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\