Учебно-методическое пособие
Составитель: Ю.В. Потапов
Пособие рассмотрено и одобрено методической
комиссией факультета информатики.
Декан факультета информатики,
доцент Б.А. Гладких
Председатель методической
комиссии, профессор В.В. Поддубный
Методическое пособие предназначено в помощь освоению простейших понятий классической теории вероятностей и ориентировано на студентов факультета информатики. По учебному плану специальности не предусмотрено аудиторных практических занятий. В поддержку курса предлагается домашняя контрольная в форме вариантов практических задач по основным разделам теории. Каждому студенту свой вариант предлагается случайным образом.
Задачи должны быть решены в течение семестра. С зачётной недели ответы на них «выкладываются» в сеть факультета. Но студенты, не решившие задач, решают подобные им теперь уже непосредственно на экзамене.
Реализовано пособие в печатном и электронном виде. При работе с электронным вариантом для быстрого листания по разделам документа можно использовать механизм гиперссылок, заложенный в оглавлении. Места ссылок выделены там жёлтой заливкой. Вернуться на начало документа всегда можно с помощью клавиш клавиатуры Ctrl + Home.
©.Потапов Ю.В: 2002
Оглавление
Приложение 19
Рекомендуемая литература 22
I.
В урне 2 белых и 4 чёрных шара. Двое
поочерёдно наугад вынимают по шару (без
возвращения). С какой вероятностью
первый вынет белый шар первым?
II. Бросается правильная
игральная кость. И пусть событие
заключается в выпадении числа очков
меньше 6, а событие
состоит в выпадении числа очков больше
2. Тогда что представляет из себя условное
событие
и какова его вероятность?
III. (Задача А.Н.
Колмогорова, приводящая к логнормальному
распределению). Найти плотность
распределения
новой НСВ
,
когда старая СВ распределена
нормально, т.е.
.
IV. Два игрока по очереди бросают уравновешенную игральную кость. Выигрывает тот, у кого очков больше. С какой вероятностью выиграет первый?
V. По данным переписи (1891 г.) Англии и Уэльса было установлено, что тёмноглазые отцы и тёмноглазые сыновья составили 5% обследованных, тёмноглазые отцы и светлоглазые сыновья составили 8% обследованных, светлоглазые отцы и тёмноглазые сыновья составили 9% обследованных, а светлоглазые отцы и светлоглазые сыновья составили 78% обследованных. Определить, какова вероятность рождения светлоглазого сына у тёмноглазого отца?
VI. (Правило трёх
сигма Е.С. Вентцель). С точностью до
5-ти значащих цифр вычислить вероятность,
с которой значения нормальной СВ
оказываются в пределах от
до
.
/В расчётах можно воспользоваться
значением интеграла вероятностей
/.
VII. Пять студентов наугад рассаживают за круглый стол. Какова вероятность, что определённая пара окажется рядом?
VIII. Бросается правильная
игральная кость. И пусть событие
заключается в выпадении числа очков
меньше 6, а событие
состоит в выпадении числа очков больше
2. Тогда что представляет из себя условное
событие
и какова его вероятность?
IX.
Пусть у системы НСВ
совместная ФР
имеет вид, показанный значениями на
рисунке. Каковы безусловные и
условные ФР компонент в этой системе?
Зависимы ли между собой компоненты? Как
выглядит совместная плотность
распределения системы?
X. Бросается две уравновешенные игральные кости. Какова вероятность, что на них выпадут различные числа?
XI. По данным переписи (1891 г.) Англии и Уэльса было установлено, что тёмноглазые отцы и тёмноглазые сыновья составили 5% обследованных, тёмноглазые отцы и светлоглазые сыновья составили 8% обследованных, светлоглазые отцы и тёмноглазые сыновья составили 9% обследованных, а светлоглазые отцы и светлоглазые сыновья составили 78% обследованных. Определить, какова вероятность рождения тёмноглазого сына у светлоглазого отца?
XII.
Каким должно быть преобразование
,
чтобы по значениям
равномерной в [0,1] НСВ
можно было смоделировать значения
новой НСВ
с плотностью экспоненциального
закона распределения:
? (Зачастую так бывает распределено
время ожидания
определённого события).
XIII. Уравновешенная
монета бросается
раз. Какова вероятность выпадения
нечётного числа гербов?
XIV. Для оповещения об аварии установлено два сигнализатора, работающих независимо. Первый срабатывает на аварию с вероятностью 0.9, а второй – с вероятностью 0.8. Найти вероятность того, что при аварии сработают оба сигнализатора.
XV. (Задача, приводящая
к показательно – степенному
распределению). Найти плотность
распределения
новой НСВ
,
когда слагаемые стохастически
независимы и каждое распределено по
экспоненциальному закону с плотностью
.
/Воспользоваться вспомогательным
невырожденным преобразованием
/.
XVI. Четырёхтомное сочинение расположено на полке в произвольном порядке. Какова вероятность, что номера томов идут подряд?
XVII. Пусть в каждом цикле обзора радиолокатора цель может быть обнаружена с вероятностью 0.5. И пусть обнаружение в каждом цикле происходит независимо от других циклов. Определить с какой вероятностью цель будет обнаружена за 3 цикла.
XVIII. Уравновешенная
игральная кость бросается до первого
появления "6-ки". Рассчитать
вероятность появления этого события
при
-том
бросании для
.
Результаты свести в таблицу. Как выглядит
графически этот ряд распределения,
называемый геометрическим?
XIX. Какова вероятность, что выбранное наугад целое число при возведении в квадрат даст число, оканчивающееся на 1 ?
XX. Для оповещения об аварии установлено два сигнализатора, работающих независимо. Первый срабатывает на аварию с вероятностью 0.9, а второй – с вероятностью 0.8. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
XXI
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет совместный ряд распределения
,
представленный в таблице. Построить
безусловные и условные ряды
распределений компонент
и
.
Зависимы ли между собой эти компоненты?
XXII. На отрезок длины
наугад ставится две точки. Какова
вероятность, что из трёх получившихся
частей отрезка можно построить
треугольник?
XXIII. В лотерее разыгрывается 100 билетов, среди которых 10 – выигрышные. Студент купил 2 билета. Какова вероятность, что он выиграл хотя бы на один билет?
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
XXIV.
Пусть ДСВ
имеет ряд распределения
,
представленный в таблице. Каков ряд
распределения
у новой ДСВ
?
XXV. Коэффициенты
и
квадратного уравнения
выбираются наугад из сегмента
.
Какова вероятность, что корни этого
уравнения будут действительными?
XXVI. Для оповещения об аварии установлено два сигнализатора, работающих независимо. Первый срабатывает на аварию с вероятностью 0.9, а второй – с вероятностью 0.8. Найти вероятность того, что при аварии сработает хотя бы один сигнализатор.
XXVII. (Распределение
старшей порядковой статистики).
Какую ФР
и плотность распределения
имеет новая СВ
,
если
старые НСВ
все одинаково и независимо распределены
с ФР
и плотностью
?
XXVIII
.
(см. рис.) наугад поставлены точки
и
(пусть
левее
).
Какова вероятность, что длина отрезка
будет меньше длины отрезка
?
XXIX. В урну, содержащую 2 шара, опущен 1 белый шар; после чего из урны наудачу вынут 1 шар. Какова вероятность, что это будет белый шар, если равновозможен любой первоначальный состав урны?
XXX. (Распределение
младшей порядковой статистики).
Какую ФР
и плотность распределения
имеет новая СВ
,
если
старые НСВ
все одинаково и независимо распределены
с ФР
и плотностью
?
XXXI. В студенческой лотерее на 100 билетов приходится 5 денежных и 5 вещевых выигрышей. Студент приобрёл 2 билета. Какова вероятность, что он выиграл и вещь и деньги?
XXXII. Из наблюдений установлено, что вероятности произойти сбою во время работы ЭВМ в процессоре, в оперативной памяти или в периферийных устройствах соотносятся между собой как 3:2:5. И пусть условные вероятности обнаружения сбоя в названных местах ЭВМ есть соответственно 0.8, 0.9 и 0.9. Найти безусловную вероятность того, что возникший где-то сбой будет обнаружен системой контроля.
XXXIII. Одновременно бросается две уравновешенных игральных кости и подсчитывается произведение выпавших очков. Показать, что это определяет дискретную случайную величину, обладающую измеримым отображением. Построить ряд распределения этой ДСВ.
XXXIV. В урне находится 3 белых и 4 чёрных шара. Из урны наугад выбирается 3 шара. Какова вероятность, что 2 из них будут чёрными, а 1 – белым?
XXXV. Прибор состоит из двух дублирующих блоков и остаётся работоспособным, если исправен хотя бы один из них. Случайным образом прибор может находиться в одном из двух режимов: благоприятном – с вероятностью 0.9 и неблагоприятном – с вероятностью 0.1. В благоприятном режиме надёжность (т.е. вероятность безотказной работы) каждого из блоков есть 0.95, а в неблагоприятном – 0.80. Учитывая всё это найти безусловную (полную) надёжность прибора.
XXXVI. Уравновешенная
монета бросается
раз. Рассчитать вероятность выпадения
"герба"
раз для
.
Результаты свести в таблицу. Как выглядит
графически этот ряд распределения,
называемый биномиальным?
XXXVII. Студент купил карточку Спортлото и наугад отметил 6 из 49-ти номеров. Какова вероятность, что он угадал 3 выигрышных номера?
XXXVIII. Пусть вероятность поражения цели при бомбометании с самолёта есть 0.35. И пусть независимо бросаются 10 бомб. Какова вероятность, что цель поразят ровно 3 (наивероятное число) бомбы?
XXXIX. (Расчёт точности стрельбы при круговом рассеянии, приводящий к распределению Рэлея). Для системы нормальных СВ
найти
вероятность
попадания значений СВ
в круг радиуса
:
.
/При вычислении интеграла удобно перейти
в полярную систему координат/.
XL. В лотерее разыгрывается 100 билетов, среди которых 10 – выигрышные. Студент купил 2 билета. Какова вероятность, что он ничего не выиграл?
XLI. Большая партия изделий содержит 1% брака. Каков должен быть объём случайной и независимой контрольной выборки, чтобы вероятность встретить в ней хотя бы одно бракованное изделие была как минимум 0.95 ?
XLII. Астроном в благоприятную ночь наблюдает метеорный поток на определённом участке неба, регистрируя количество пролетевших метеоритов за каждые 15 минут.
Полагая, что поток
метеоритов пуассоновский (закон
редких событий), и что в среднем можно
наблюдать
метеорита, рассчитать вероятность
наблюдать
метеоритов за данные 15 минут для
.
Результаты свести в таблицу и отобразить
графически.
XLIII. Студент пришёл на экзамен, зная лишь 20 вопросов из 25-ти. Преподаватель наугад дал 2 вопроса. Какова вероятность, что студент получил вопросы, которые он выучил?
XLIV. Какова вероятность, что при многократном независимом бросании правильной игральной кости первая шестёрка выпадет при 3-ем бросании?
XLV. (Суммирование
ошибок округления, приводящее к
треугольному распределению Симпсона).
Найти плотность распределения
новой НСВ
,
когда слагаемые стохастически
независимы и каждое распределено по
равномерному закону:
.
/Воспользоваться вспомогательным
невырожденным преобразованием
/.
XLVI. В урне находится 7 шаров, среди которых 3 белых. Наугад вынимается 2 шара. Какова вероятность, что оба они белые?
XLVII. Изделия некоторого производства содержат 10% брака. Какова вероятность, что среди трёх наугад взятых изделий одно окажется бракованным?
XLVIII.
Пусть некоторая случайная величина
обладает ФР
,
показанной на рисунке. В каких точках
числовой оси находятся спектральные
значения этой СВ и каков её тип?
Каково значение вероятности следующего
события с СВ:
?
XLIX. В урне имеется 3 белых и 2 чёрных шара. Все шары наугад по одному вынимаются. Какова вероятность, что последним будет чёрный шар?
L. Пусть на РЛС (радиолокационную станцию) равновозможно поступает либо только шум (нет цели), либо смесь сигнала с шумом (есть цель). Известно, что решающее устройство РЛС при наличие только шума может ошибиться и зарегистрировать цель (ошибка ложной тревоги) с вероятностью 0.1; а при наличие сигнала с шумом цель правильно регистрируется (нет ошибки пропуска цели) с вероятностью 0.7. И пусть решающее устройство зарегистрировало цель. Какова вероятность, что РЛС не ошиблась?
LI. (Квадратичная
ФР) Точка бросается наугад в круг
радиуса
.
При этом вероятность попасть в любую
область в круге пропорциональна площади
области. Найти ФР
и плотность
расстояния
точки от центра круга. Нарисовать
графики.
LII. Какова вероятность того, что 3 определённые книги на полке будут стоять рядом, если наугад расставляется 10 книг?
LIII.
Пусть некоторая система (цепь Маркова)
случайным образом может переходить в
одно из трёх состояний
,
и
с вероятностями, указанными на графе
переходов (см. рис.). Считая, что
изначально система находится в состоянии
,
определить вероятность того, что за 2
перехода она так и останется в этом
же состоянии.
LIV.
(Закон арксинуса). Какими являются
ФР
и плотность
у новой СВ
,
если старая НСВ
распределена равномерно в
?
Нарисовать графики.
LV. В ящике находится 10 карточек с различными номерами. Из ящика по очереди наугад вынимается с возвращением 3 карточки. Какова вероятность, что у них будут разные номера?
LVI. Солдат получает
зачёт по стрельбе при условии, что в
течение отведённого времени он поразит
не менее трёх мишеней из пяти.
Каждую мишень не зависимо от других
солдат может поразить с вероятностью
.
Какова вероятность, что он сдаст зачёт?
LVII. (Распределение
Коши). Какими являются ФР
и плотность
у новой СВ
,
если старая НСВ
распределена равномерно в
?
Нарисовать графики.
LVIII. Бросаются две правильных игральных кости. Какова вероятность, что сумма выпавших очков окажется больше их произведения?
LIX. Группа в 30 студентов поровну состоит из отличников, хорошистов и троечников. Отличник на экзамене обязательно получит 5; хорошист – равновозможно 5 или 4; а троечник – равновозможно 4, 3 или 2. Новый преподаватель наугад вызывает незнакомого студента. Какова вероятность, что студент получит 4 или 5 ?
LX. Для экспоненциальной
НСВ
с плотностью распределения
найти вероятность выполнения события:
.
/Содержательно это можно трактовать
как вероятность, с которой случайное
время ожидания в очереди не превысит
среднего значения/.
LXI. Бросаются две правильных игральных кости. Какова вероятность, что произведение выпавших очков равно 8 ?
LXII. Рабочий производит с вероятностью 0.9 годное изделие и с вероятностью 0.09 – изделие с устранимым браком. Произведено 5 деталей. Какова вероятность, что среди них будет 4 годных и одна с устранимым браком, но не будет деталей с неустранимым браком?
LXIII. (Суммирование
нормальных ошибок измерений). Найти
плотность распределения
новой НСВ
,
когда слагаемые стохастически
независимы и каждое распределено по
нормальному закону с плотностью
.
/Воспользоваться невырожденным
преобразованием
.
Учесть, что:
/.
LXIV. Бросаются две правильных игральных кости. Какова вероятность, что сумма выпавших очков равна 8 ?
LXV. Группа в 30 студентов поровну состоит из отличников, хорошистов и троечников. Отличник на экзамене обязательно получит 5; хорошист – равновозможно 5 или 4; а троечник – равновозможно 4, 3 или 2. Новый преподаватель наугад вызывает незнакомого студента, и он получает 4. Какова вероятность, что этот студент из подгруппы троечников?
LXVI.
Каким должно быть преобразование
,
чтобы по значениям
равномерной в [0,1] НСВ
можно было смоделировать значения
новой НСВ
с плотностью
,
имеющей график:
LXVII. На склад поступила партия из 10-ти изделий, 3 из которых дефектные. Для контроля наугад выбрано 5 изделий. Какова вероятность, что среди них 2 дефектных?
LXVIII. Вероятность попадания стрелком в десятку равна 0.7, а в девятку – 0.2. Какова вероятность, что за 3 выстрела стрелок наберёт как минимум 29 очков?
LXIX.
Пусть плотность распределения
НСВ
имеет вид, показанный на рисунке. Какова
вероятность следующего события с такой
НСВ:
?
LXX. Абонент забыл три последние цифры номера телефона и, помня лишь, что они разные, набрал их наугад. Какова вероятность, что он набрал правильный номер?
LXXI. Имеется 3 партии деталей. В одной из них треть деталей – брак, а в остальных все детали качественные. Деталь, взятая наугад из какой-то партии, оказалась качественной. Какова вероятность, что деталь взята из партии с браком?
LXXII. (Закон распределения
).
Если старая СВ
распределена по стандартному нормальному
закону, т.е.
,
то каков вид плотности
у новой СВ
? Как эта плотность выглядит графически?
LXXIII. В барабане револьвера 7 гнёзд и вставлено 5 патронов. Дважды барабан наугад прокручивается, и каждый раз нажимается курок. Какова вероятность, что выстрела не будет?
LXXIV. Уравновешенная монета бросается 6 раз. Какова вероятность, что выпадет больше гербов, чем решек?
LXXV. Пусть имеется
протяжённая цель, в которую стреляют
снарядом. При этом пусть снаряд полностью
попадает в цель с вероятностью 0.25 и
тогда площадь поражения максимальная
.
Далее, пусть снаряд вообще не попадает
в цель с вероятностью 0.05 и тогда площадь
поражения нулевая. Во всех прочих
ситуациях площадь поражения может быть
любой из интервала
,
причём каждое значение равновозможно.
Как выглядит функция распределения площади поражения как СВ ? Нарисовать график ФР , назвать тип СВ.
LXXVI. Из букв разрезной азбуки составлено слово АНАНАС. Ребёнок рассыпал эти буквы, а затем наугад их составил. Какова вероятность, что вновь получится исходное слово?
LXXVII. На курсе 40 студентов
– юношей. Какова (приближённо по Муавру
– Лапласу) вероятность того, что хотя
бы двое из них носят имя Александр,
если частота встречи такого имени у
юношей есть
?
LXXVIII. Проводится игра
в орлянку с 3-хкратным независимым
подбрасыванием неуравновешенной
монеты, у которой "герб" выпадает
с вероятностью
,
а "решка" с вероятностью
.
За каждый "герб" игрок получает
1 рубль, а за каждую "решку" платит
1 рубль.
Показать, что сумма выигрыша представляет из себя дискретную случайную величину, обладающую измеримым отображением. Построить ряд распределения этой ДСВ.
LXXIX. Из букв разрезной азбуки составлено слово КНИГА. Ребёнок рассыпал эти буквы, а затем наугад их составил. Какова вероятность, что вновь получится исходное слово?
LXXX. Вероятность сбить самолёт одиночным винтовочным выстрелом весьма мала и составляет порядка 0.004. Какова (приближённо по Пуассону) вероятность сбить самолёт при одновременной независимой стрельбе из 250-ти винтовок?
LXXXI. Пусть старая
НСВ
имеет квадратичную ФР
при
,
оставаясь равной 0 при
и оставаясь равной 1 при
.
И пусть новая СВ
получается из старой в результате
операции усечения:
,
причём
при
и
при
.
Как в итоге выглядит ФР
новой СВ и каков тип СВ
?
Приложение
ВОПРОСНИК ПО ТЕОРИИ
Случайное событие и его вероятность
Понятие случайного события в схеме испытаний (содержательная и формальная трактовка). Привести примеры.
Какими двумя практическими качествами обязательно должна обладать схема испытаний в ТВ? Пояснить на примере.
Отношения между случайными событиями (дать примеры). Что такое класс случайных событий.
Что такое полная группа попарно несовместных событий? Дать формальное определение и привести пример.
Определения вероятности случайного события Бернулли – Лапласа и Бюффона. Для каких схем испытаний они годятся (привести примеры).
Физическая трактовка вероятности по Н.Бернулли и её фундаментальные свойства.
Что такое практически невозможное и практически достоверное случайное событие? Дать пример.
Современное понятие вероятности по Колмогорову (аксиоматика для вероятностной меры, вероятностное пространство).
Исчисление вероятностей
Формулы сложения вероятностей. Зависимость событий по вероятности. Формулы умножения вероятностей.
Понятие зависимости и независимости событий по вероятности. Основные свойства независимых событий.
Схема гипотез и формула полной вероятности. Априорные и апостериорные вероятности гипотез и формула Байеса.
Биномиальная схема и формула Бернулли (дать пример биномиальной схемы).
Почему формулу Бернулли называют биномиальной? В чём заключаются условия нормировки на биномиальные вероятности?
Полиномиальное обобщение формулы Бернулли (дать пример полиномиальной схемы).
Случайная величина и её функция распределения
Понятие случайной величины (простейшие представления и формальная трактовка по Колмогорову).
Задание векторной случайной величины на примере игры в орлянку двумя монетами.
Представление об условных и безусловных СВ в системе на примере игры в орлянку двумя монетами.
Пояснить на словах смысл стохастической зависимости между двумя СВ. Чем она отличается от детерминированной?
Формальные соотношения для функций распределения условных и безусловных СВ в системе через совместную ФР.
Как устроена совместная функция распределения системы СВ, если её компоненты стохастически независимы?
Фундаментальные свойства функции распределения. Вероятности событий со случайной величиной и интеграл Стилтьеса.
В чём смысл приращения функции распределения случайной величины? В каких областях сосредоточены спектральные значения СВ?
В силу каких свойств функцию распределения называют ещё кумулятивным (т.е. накапливаемым) распределением СВ?
Возможные типы случайных величин и общая структура функции распределения.
Что такое сингулярная случайная величина? (Объяснить одной фразой).
Как выглядит причинное распределение и что оно описывает в ТВ?