- •1. Случайный эксперимент. Пространство элементарных событий. Случайные события и операции над ними.
- •2. Классическое определение вероятности (ков). Урновая схема. Пример.
- •3. Геометрическое определение вероятности. Пример.
- •4. Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностное пространство. Свойства вероятности.
- •5. Условная вероятность и ее свойства. Правило и теорема умножения вероятностей.
- •6. Независимость событий. Свойства независимых событий. Независимость в совокупности.
- •7. Формулы полной вероятности и Байеса. Пример.
- •8. Схема независимых испытаний Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов.
- •9. Понятие случайной величины (св). Функция распределения св и ее свойства.
- •10. Дискретные св. Закон распределения (зр) дискретной св.
- •11. Важнейшие дискретные св.
- •12. Непрерывные св. Плотность вероятностей и ее свойства.
- •13. Важнейшие непрерывные св.
- •14. Математическое ожидание дискретных и непрерывных св.
- •15. Основная теорема о мо. Свойства мо.
- •16. Моменты, дисперсия и среднеквадратическое отклонение св. Свойства дисперсии.
- •17. Числовые Характеристики важнейших св.
- •18. Случайные векторы. Функция распределения случайного вектора и ее свойства.
- •19. Дискретные случайные векторы. Закон распределения дискретного случайного вектора.
- •20. Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей случайного вектора и ее свойства.
- •21. Равномерное распределение в области на плоскости. Равномерные распределения в прямоугольнике и в круге.
- •22. Независимость случайных величин. Условия независимости. Независимость в совокупности.
- •23. Условные законы распределения. Условная плотность вероятностей и ее свойства. Условные числовые характеристики.
- •24. Числовые характеристики случайных векторов. Корреляционная матрица и ее свойства. Понятие о моментах случайных векторов.
- •Понятие о моментах
- •25. Теоремы о числовых характеристиках.
- •26. Некоррелированные св. Связь между некоррелированностью и независимостью. Пример.
- •27. Коэффициент корреляции, его свойства и вероятностный смысл.
- •28. Многомерное нормальное распределение и его свойства.
- •29. Функции от св и их законы распределения.
- •Функции случайных аргументов
- •Функции от случайных величин
- •Функции от случайных векторов
- •30. Закон распределения суммы св. Композиция (свертка) законов распределения. Пример.
- •31. Неравенство Чебышева. Виды сходимости последовательностей св и связь между ними.
- •Неравенство Чебышева
- •Виды сходимости последовательностей с.В. И связи между ними.
- •32. Закон больших чисел (збч) для последовательностей св. Теоремы Маркова и Чебышева.
- •33. Збч для последовательностей независимых одинаково распределенных св. Задача об измерениях. Теорема Бернулли и ее применение.
- •34. Характеристическая функция св и ее свойства.
- •Свойства хф.
- •35. Характеристические функции важнейших св. Устойчивость нормального закона распределения.
- •Характеристические функции случайных векторов
- •36. Сходимость распределений (слабая сходимость) и ее связь со сходимостью по вероятности. Теорема непрерывности.
- •37. Центральная предельная теорема (цпт) для независимых одинаково распределенных св. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
- •38. Цпт для независимых разнораспределенных св: теоремы Линдеберга и Ляпунова. Смысл условия Линдеберга. Асимптотическая нормальность.
- •39. Теорема Хинчина. Понятие об усиленном збч.
- •40. Статистическая модель. Генеральная совокупность (гс), выборка, объем выборки. Простейшие способы представления статистических данных.
- •Способы представления статистических данных
- •41. Эмпирическая функция распределения и ее свойства.
- •42. Гистограмма и полигон частот.
- •Интервальный статистический ряд.
- •Вероятностный смысл гистограммы
- •43. Выборочные (эмпирические) числовые характеристики. Выборочное среднее и выборочная дисперсия.
- •44. Точечные оценки неизвестных параметров распределений. Требования, предъявляемые к точечным оценкам.
- •Точечные оценки неизвестных параметров распределения.
- •45. Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии как точечных оценок мо и дисперсии соответственно.
- •46. Метод моментов получения точечных оценок. Свойства оценок, найденных по методу моментов. Пример.
- •Метод моментов.
- •47. Метод максимального правдоподобия. Свойства оценок максимального правдоподобия. Пример.
- •48. Интервальные оценки неизвестных параметров распределений. Доверительные интервалы (ди) для мо нормально распределенной гс (при известной и неизвестной дисперсии).
- •49. Ди для дисперсии нормально распределенной гс (при известном и неизвестном мо).
- •50. Асимптотические ди для мо и дисперсии произвольно распределенной гс.
- •51. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки простой гипотезы о виде распределения.
- •52. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки сложной гипотезы о виде распределения.
- •53. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки гипотезы независимости.
28. Многомерное нормальное распределение и его свойства.
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Рассмотрим с.в. , у которой.
Опр. Говорят, что случайный вектор имеет многомерное (-мерное) нормальное или Гауссовское нормальное распределение, если его плотность вероятности имеет вид:
– формула в координатах.,– корреляционная матрица,– алгебраическое дополнение,– МО вектора.
Из вида плотности вероятностей следует, что многомерное нормальное распределение полностью определяется моментами первых двух порядков: и.
В матричном виде плотность многомерного нормального распределения записывается так:
,
где – обратная матрица к. В таком виде.
Пусть и предположим, что координаты вектора являются попарно некоррелированными:, тогда матрицаявляется диагональной:,,. Поэтому из общей формулы в данном случае имеем:
где – плотность вероятностей одномерного нормального закона распределения. Но последнее равенство означает, что с.в.являются независимыми.
Таким образом, для нормального ЗР понятие независимости и некоррелированности эквивалентны.
Другие свойства многомерного нормального закона распределения.
:
1. имеют одномерные законы нормального распределения:,(уметь доказать свойство при)
2) Все условные ЗР являются нормальными (уметь доказать свойство при )
3) Если – независимые (некоррелированные), тоимеет нормальный ЗР:(уметь доказать с помощью интеграла свертки).
Рассмотрим подробно двумерный случай. Пусть дан двумерный вектор, а также следующие величины:,,,,. Тогда,.
Легко видеть, что двумерный нормальный ЗР зависит от 5 параметров: . Если,, то поверхности уровня – окружности, тогда НЗР – круговой.
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
29. Функции от св и их законы распределения.
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Функции случайных аргументов
Пусть - случайный вектор, закон распределения которого известен, и- скалярная (для простоты) неслучайная функция, область определения которой содержит множество возможных значений вектора. Рассмотрим случайную величину(для того, чтобы функция случайных аргументовявлялась случайной величиной, функциядолжна быть борелевской, см. раздел «Основная теорема о математическом ожидании»). Известно, что для нахождения числовых характеристик случайной величиныдостаточно знать только закон распределения случайного вектора. Однако, во многих приложениях, особенно в математической статистике, необходимо уметь находить в явном виде закон распределения случайной величиныY, являющейся функцией случайных аргументов. Рассмотрим вначале задачу нахождения закона распределения случайной величины Y в одномерном случае ().
Функции от случайных величин
Дискретный случай. Пусть– дискретная случайная величина, принимающая значенияс вероятностями(случай счетного числа значений случайной величинырассмотреть самостоятельно). Тогда для произвольной неслучайной функции, область определения которой содержит множество возможных значений случайной величины, случайная величинаявляется дискретной и задача состоит в нахождении ее закона распределения.
а) Предположим вначале, что все значения различны (так, в частности, может быть, если функцияявляется монотонной в области возможных значений случайной величины). Тогда случайная величинабудет иметь столько же возможных значений, как и случайная величина, си при этом
. (4.1)
Таким образом, закон распределения случайной величины имеет вид:
где в соответствии с (4.1) вероятности .
б) Предположим теперь, что среди значенийесть совпадающие (это может быть, в частности, если функцияне является монотонной в области возможных значений случайной величины). Тогда случайная величинабудет иметь меньше возможных значений, чем случайная величина, и ими являются,, различные среди. При этом вероятностизначенийопределяются по формуле:
, (4.2)
Закон распределения случайной величины в данном случае имеет вид:
где в соответствии с (4.2) вероятности являются суммой вероятностейтех значений, для которых.,.
Пример. Найти закон распределения случайной величины, если случайная величинаХявляется дискретной и имеет закон распределения
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 | |
0.2 |
0.2 |
0.2 |
0.2 |
0.2 |
Решение. В соответствии с (4.2) закон распределения случайной величиныимеет вид:
0 |
1 |
2 |
| |
0.2 |
0.4 |
0.4 |
|
Непрерывный случай. Если– непрерывная случайная величина с плотностью вероятностей, а– дифференцируемая функция в области возможных значений случайной величиныХ, то величинаявляется непрерывной случайной величиной и задача состоит в нахождении плотности вероятностей.
Предположим вначале, что -монотонно возрастающаяфункция в области возможных значений случайной величиныХ. Тогда у функциисуществует однозначная обратная функцияи функцию распределения случайной величиныможно записать в виде:.
Дифференцируя обе части последнего равенства по , получаем:. (4.3)
Для монотонно убывающейв области возможных значений случайной величиныХфункции
,
а после дифференцирования по обеих частей этого равенства имеем:
. (4.4)
Объединяя полученные в (4.3) и (4.4) результаты, получаем:
Если – непрерывная случайная величина с плотностью вероятностей, а– монотонная дифференцируемая функция, то случайная величинаявляется непрерывной и ее плотность вероятностейопределяется черезпо формуле:, (4.5)
где – функция, обратная к функции(отметим, что равенство (4.5) имеет место только в точках непрерывности плотностей вероятностейи).
Если дифференцируемая функция не является монотоннойв области
возможных значений случайной величины , то ее область определения можно разбить нанепересекающихся интервалов, на каждом из которых она монотонной будет и будет иметь однозначную обратную функцию. Применяя формулу (4.5) на каждом интервале монотонности, получаем:. (4.6)
Пример 1. Пусть– непрерывная случайная величина с плотностью вероятностей, а. Найти плотность вероятностей.
Решение. В данном случае функцияявляется монотонной при любых значениях(прифункциявозрастает, при- убывает). Функция, обратная к, имеет вид:, а ее производная. Поэтому в соответствии с (4.5):. (4.7)
а) Рассмотрим линейное преобразование вида над случайной величиной.
В соответствии с (4.7) в этом случае , а с учетом того, что
для плотности вероятностей случайной величины имеем выражение:
Полученный результат схематично можно записать в виде:
и он означает, что из равномерного распределения на отрезке можно получить равномерное распределение на любом отрезкепутем линейного преобразования.
б) Рассмотрим линейное преобразование вида над случайной величиной.
В соответствии с (4.7) в этом случае , а с учетом того, что
для плотности вероятностей случайной величины имеем выражение:
.
Полученный результат схематично можно записать в виде:
и он означает, что из стандартного нормального распределения можно получить нормальное распределение с любыми параметрами путем линейного преобразования.
Пример 2. Пусть, а. Найти плотность вероятностей.
Решение. В данном случае функцияне является монотонной в области возможных значений случайной величиныи имеет два интервала монотонностии. На каждом из интервалов функцияимеет однозначную обратную функцию:на первом интервалеи- на втором. Поскольку модуль производной,, то в соответствии с (4.6):,
а с учетом того, что , получаем:
,
при.
Пример 3. Пусть- строго монотонная функция распределения, а случайная величина. Тогда случайная величинаимеет заданную функцию распределения.
Решение. Действительно,.
Последнее равенство следует из того, что функция распределения случайной величины имеет вид:
.
Смысл примера 3. Предположим, что требуется получитьзначенийслучайной величиныс заданным законом распределения (смоделировать случайную величину). Для этого в соответствии с примером 3 необходимо найти функцию распределенияслучайной величиныи, если она имеет однозначную обратную функцию, то положить
,,
где - значения случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке(значенияможно получить путем обращения к датчику случайных чисел, входящему в стандартное математическое обеспечение любого персонального компьютера).