- •1. Случайный эксперимент. Пространство элементарных событий. Случайные события и операции над ними.
- •2. Классическое определение вероятности (ков). Урновая схема. Пример.
- •3. Геометрическое определение вероятности. Пример.
- •4. Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностное пространство. Свойства вероятности.
- •5. Условная вероятность и ее свойства. Правило и теорема умножения вероятностей.
- •6. Независимость событий. Свойства независимых событий. Независимость в совокупности.
- •7. Формулы полной вероятности и Байеса. Пример.
- •8. Схема независимых испытаний Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов.
- •9. Понятие случайной величины (св). Функция распределения св и ее свойства.
- •10. Дискретные св. Закон распределения (зр) дискретной св.
- •11. Важнейшие дискретные св.
- •12. Непрерывные св. Плотность вероятностей и ее свойства.
- •13. Важнейшие непрерывные св.
- •14. Математическое ожидание дискретных и непрерывных св.
- •15. Основная теорема о мо. Свойства мо.
- •16. Моменты, дисперсия и среднеквадратическое отклонение св. Свойства дисперсии.
- •17. Числовые Характеристики важнейших св.
- •18. Случайные векторы. Функция распределения случайного вектора и ее свойства.
- •19. Дискретные случайные векторы. Закон распределения дискретного случайного вектора.
- •20. Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей случайного вектора и ее свойства.
- •21. Равномерное распределение в области на плоскости. Равномерные распределения в прямоугольнике и в круге.
- •22. Независимость случайных величин. Условия независимости. Независимость в совокупности.
- •23. Условные законы распределения. Условная плотность вероятностей и ее свойства. Условные числовые характеристики.
- •24. Числовые характеристики случайных векторов. Корреляционная матрица и ее свойства. Понятие о моментах случайных векторов.
- •Понятие о моментах
- •25. Теоремы о числовых характеристиках.
- •26. Некоррелированные св. Связь между некоррелированностью и независимостью. Пример.
- •27. Коэффициент корреляции, его свойства и вероятностный смысл.
- •28. Многомерное нормальное распределение и его свойства.
- •29. Функции от св и их законы распределения.
- •Функции случайных аргументов
- •Функции от случайных величин
- •Функции от случайных векторов
- •30. Закон распределения суммы св. Композиция (свертка) законов распределения. Пример.
- •31. Неравенство Чебышева. Виды сходимости последовательностей св и связь между ними.
- •Неравенство Чебышева
- •Виды сходимости последовательностей с.В. И связи между ними.
- •32. Закон больших чисел (збч) для последовательностей св. Теоремы Маркова и Чебышева.
- •33. Збч для последовательностей независимых одинаково распределенных св. Задача об измерениях. Теорема Бернулли и ее применение.
- •34. Характеристическая функция св и ее свойства.
- •Свойства хф.
- •35. Характеристические функции важнейших св. Устойчивость нормального закона распределения.
- •Характеристические функции случайных векторов
- •36. Сходимость распределений (слабая сходимость) и ее связь со сходимостью по вероятности. Теорема непрерывности.
- •37. Центральная предельная теорема (цпт) для независимых одинаково распределенных св. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
- •38. Цпт для независимых разнораспределенных св: теоремы Линдеберга и Ляпунова. Смысл условия Линдеберга. Асимптотическая нормальность.
- •39. Теорема Хинчина. Понятие об усиленном збч.
- •40. Статистическая модель. Генеральная совокупность (гс), выборка, объем выборки. Простейшие способы представления статистических данных.
- •Способы представления статистических данных
- •41. Эмпирическая функция распределения и ее свойства.
- •42. Гистограмма и полигон частот.
- •Интервальный статистический ряд.
- •Вероятностный смысл гистограммы
- •43. Выборочные (эмпирические) числовые характеристики. Выборочное среднее и выборочная дисперсия.
- •44. Точечные оценки неизвестных параметров распределений. Требования, предъявляемые к точечным оценкам.
- •Точечные оценки неизвестных параметров распределения.
- •45. Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии как точечных оценок мо и дисперсии соответственно.
- •46. Метод моментов получения точечных оценок. Свойства оценок, найденных по методу моментов. Пример.
- •Метод моментов.
- •47. Метод максимального правдоподобия. Свойства оценок максимального правдоподобия. Пример.
- •48. Интервальные оценки неизвестных параметров распределений. Доверительные интервалы (ди) для мо нормально распределенной гс (при известной и неизвестной дисперсии).
- •49. Ди для дисперсии нормально распределенной гс (при известном и неизвестном мо).
- •50. Асимптотические ди для мо и дисперсии произвольно распределенной гс.
- •51. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки простой гипотезы о виде распределения.
- •52. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки сложной гипотезы о виде распределения.
- •53. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки гипотезы независимости.
12. Непрерывные св. Плотность вероятностей и ее свойства.
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
ОпрНСВ – случайная величина- определенная на вероятностном пространстве называется непрерывной, если ее функция распределения (*).
Функция называется плотностью распределения вероятностей (ПВ) НСВ.
Из определения НСВ напрямую вытекают свойства ФР НСВ:
1. - непрерывная. (следует из непрерывности интегрирования с переменным верхним пределом, при этом необязательно непрерывна).
2. В точках непрерывности ф-ция распределения является дифференцируемой и(**) (следует из свойства 1 и свойства интегрирования с переменным верхним пределом). В точках, где непрерывностинет ФР имеет излом.
Замечание: Представление (*) задает плотность вероятностей неоднозначно, поскольку изменение на любом множестве меры 0, не изменит этого представления. Поэтому говорят, что ФР НСВ является дифференцируемой почти всюду идля почти всех.
Из (**) и определения производной следует: .
Т.о. с физической точки зрения можно интерпретировать , как массу, приходящуюся на отрезок. Это оправдывает понятиекак плотности.
Несмотря на то, что (*) и (**) устанавливают взаимнооднозначное соответствие между ПВ и ФР, но ПВ является более наглядной вероятностной характеристикой НСВ. ПВ также называют законом распределения НСВ.
Свойства плотности вероятности:
1. (почти всюду) т.к. ФР неубывающая функция.
2. - условие нормировки.
3. .
Т.к. .
При НСВ т.к..
Свойства 1 и 2 полностью описывают класс ПВ (если удовлетворяет свойствам 1 и 2, то и НСВ, плотностью которой она является).
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
13. Важнейшие непрерывные св.
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
1. Равномерная случайная величина.
Говорят, что непрерывная случайная величина имеет равномерный закон распределения (равномерное распределение) на отрезке, если множество ее возможных значений, а плотность вероятностей постоянна на этом отрезке:
Константа С при этом однозначно определяется из условия нормировки:
, то есть .
Таким образом, равномерно распределенная случайная величина имеет плотность вероятностей:
и для нее используется сокращенное обозначение: .
Найдем функцию распределения случайной величины .
Для этого рассмотрим три случая:
а) если , то;
б) если ,то;
в) если , то.
Окончательно имеем: и
Графики плотности вероятностей и функции распределения случайной величины имеют вид:
2. Показательная (экспоненциальная) случайная величина.
Говорят, что непрерывная случайная величина имеет показательный закон распределения (показательное, экспоненциальное распределение), если множество ее возможных значений, а плотность вероятностей имеет вид:
Число называется параметром показательного закона распределения, а для показательной случайной величины используется сокращенное обозначение:.
Проверим условие нормировки: при любом .
Найдем функцию распределения случайной величины .
Для этого рассмотрим два случая:
а) если , то;
в) если , то.
Окончательно имеем:
Графики плотности вероятностей и функции распределения случайной величины имеют вид:
3. Нормальная (гауссовская) случайная величина.
Говорят, что непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения (нормальное, гауссовское распределение) с параметрами, если множество ее возможных значений, а плотность вероятностей имеет вид:
.
Сокращенное обозначение нормальной случайной величины:
.
Кривая плотности вероятностей имеет симметричный вид относительно прямой и имеет максимум в точке.
Проверим условие нормировки:
для любых значений параметров а и (при этом использовался известный в анализе факт, что- интеграл Пуассона).
5. Случайная величина, имеющая закон распределения Коши.
Говорят, что непрерывная случайная величина имеет закон распределения Коши, если множество ее возможных значений, а плотность вероятностей имеет вид:
.
Функция распределения случайной величины, распределенной по закону Коши, имеет вид:
.
Графики плотности вероятностей и функции распределения случайной величины, распределенной по закону Коши, выглядят следующим образом:
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\