- •1. Случайный эксперимент. Пространство элементарных событий. Случайные события и операции над ними.
- •2. Классическое определение вероятности (ков). Урновая схема. Пример.
- •3. Геометрическое определение вероятности. Пример.
- •4. Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностное пространство. Свойства вероятности.
- •5. Условная вероятность и ее свойства. Правило и теорема умножения вероятностей.
- •6. Независимость событий. Свойства независимых событий. Независимость в совокупности.
- •7. Формулы полной вероятности и Байеса. Пример.
- •8. Схема независимых испытаний Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов.
- •9. Понятие случайной величины (св). Функция распределения св и ее свойства.
- •10. Дискретные св. Закон распределения (зр) дискретной св.
- •11. Важнейшие дискретные св.
- •12. Непрерывные св. Плотность вероятностей и ее свойства.
- •13. Важнейшие непрерывные св.
- •14. Математическое ожидание дискретных и непрерывных св.
- •15. Основная теорема о мо. Свойства мо.
- •16. Моменты, дисперсия и среднеквадратическое отклонение св. Свойства дисперсии.
- •17. Числовые Характеристики важнейших св.
- •18. Случайные векторы. Функция распределения случайного вектора и ее свойства.
- •19. Дискретные случайные векторы. Закон распределения дискретного случайного вектора.
- •20. Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей случайного вектора и ее свойства.
- •21. Равномерное распределение в области на плоскости. Равномерные распределения в прямоугольнике и в круге.
- •22. Независимость случайных величин. Условия независимости. Независимость в совокупности.
- •23. Условные законы распределения. Условная плотность вероятностей и ее свойства. Условные числовые характеристики.
- •24. Числовые характеристики случайных векторов. Корреляционная матрица и ее свойства. Понятие о моментах случайных векторов.
- •Понятие о моментах
- •25. Теоремы о числовых характеристиках.
- •26. Некоррелированные св. Связь между некоррелированностью и независимостью. Пример.
- •27. Коэффициент корреляции, его свойства и вероятностный смысл.
- •28. Многомерное нормальное распределение и его свойства.
- •29. Функции от св и их законы распределения.
- •Функции случайных аргументов
- •Функции от случайных величин
- •Функции от случайных векторов
- •30. Закон распределения суммы св. Композиция (свертка) законов распределения. Пример.
- •31. Неравенство Чебышева. Виды сходимости последовательностей св и связь между ними.
- •Неравенство Чебышева
- •Виды сходимости последовательностей с.В. И связи между ними.
- •32. Закон больших чисел (збч) для последовательностей св. Теоремы Маркова и Чебышева.
- •33. Збч для последовательностей независимых одинаково распределенных св. Задача об измерениях. Теорема Бернулли и ее применение.
- •34. Характеристическая функция св и ее свойства.
- •Свойства хф.
- •35. Характеристические функции важнейших св. Устойчивость нормального закона распределения.
- •Характеристические функции случайных векторов
- •36. Сходимость распределений (слабая сходимость) и ее связь со сходимостью по вероятности. Теорема непрерывности.
- •37. Центральная предельная теорема (цпт) для независимых одинаково распределенных св. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
- •38. Цпт для независимых разнораспределенных св: теоремы Линдеберга и Ляпунова. Смысл условия Линдеберга. Асимптотическая нормальность.
- •39. Теорема Хинчина. Понятие об усиленном збч.
- •40. Статистическая модель. Генеральная совокупность (гс), выборка, объем выборки. Простейшие способы представления статистических данных.
- •Способы представления статистических данных
- •41. Эмпирическая функция распределения и ее свойства.
- •42. Гистограмма и полигон частот.
- •Интервальный статистический ряд.
- •Вероятностный смысл гистограммы
- •43. Выборочные (эмпирические) числовые характеристики. Выборочное среднее и выборочная дисперсия.
- •44. Точечные оценки неизвестных параметров распределений. Требования, предъявляемые к точечным оценкам.
- •Точечные оценки неизвестных параметров распределения.
- •45. Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии как точечных оценок мо и дисперсии соответственно.
- •46. Метод моментов получения точечных оценок. Свойства оценок, найденных по методу моментов. Пример.
- •Метод моментов.
- •47. Метод максимального правдоподобия. Свойства оценок максимального правдоподобия. Пример.
- •48. Интервальные оценки неизвестных параметров распределений. Доверительные интервалы (ди) для мо нормально распределенной гс (при известной и неизвестной дисперсии).
- •49. Ди для дисперсии нормально распределенной гс (при известном и неизвестном мо).
- •50. Асимптотические ди для мо и дисперсии произвольно распределенной гс.
- •51. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки простой гипотезы о виде распределения.
- •52. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки сложной гипотезы о виде распределения.
- •53. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки гипотезы независимости.
Функции от случайных векторов
Пусть – двумерный случайный вектор с заданным законом распределения и случайная величина, где– неслучайная скалярная функция двух переменных, область определения которой содержит множество возможных значений вектора. Рассмотрим задачу нахождения закона распределения случайной величины.
Предположим вначале, что – дискретный случайный вектор, принимающий конечное число значенийс вероятностями,(случай счетного числа значений случайного вектора рассмотреть самостоятельно). Тогда– дискретная случайная величина и ее возможными значениями,являются различные среди значений(может быть). При этом вероятности значенийаналогично одномерному случаю определяются по формуле:
, . (4.8)
Если – непрерывный случайный вектор с плотностью вероятностей, а функциядифференцируема по каждому из своих аргументов, тоявляется непрерывной случайной величиной. При этом функция распределенияслучайной величиныопределяется формулой:
, (4.9)
а плотность вероятностей находится дифференцированиемпо.
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
30. Закон распределения суммы св. Композиция (свертка) законов распределения. Пример.
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Часто на практике возникает задача определения закона распределения случайной величины , являющейся суммой координат случайного вектора. Если при этом одну из случайных величин интерпретировать как полезный сигнал, а вторую случайную величину как шум, то в приложениях эта задача известна как исследование модели «сигнал + шум».
Применяя формулы (4.8) и (4.9) для функции получаем следующие результаты.
Если - дискретный случайный вектор, принимающий конечное число значенийс вероятностями,, то– дискретная случайная величина и ее возможными значениями,, являются различные среди значений. Вероятности значенийопределяются по формуле:
,(4.10)
(при этом предполагается, что вероятность , еслини при какомj, и аналогично вероятность, еслини при какомi).
Если - непрерывный случайный вектор с плотностью вероятностей, то случайная величинаявляется непрерывной и функция распределенияслучайной величиныимеет вид:
а, после расстановки пределов интегрирования по области ,
.
Дифференцируя обе части последнего равенства по , получаем:
(4.11)
(в точках непрерывности плотностей вероятностей ,и).
Если дополнительно известно, что координаты случайного вектора являютсянезависимымислучайными величинами, то:
случайная величина является дискретной, еслии- дискретные случайные величины, и имеет закон распределения, определяемый в соответствии с (4.10) вероятностями:
,. (4.12)
случайная величина является непрерывной, еслии- непрерывные случайные величины, и имеет в соответствии с (4.11) плотность вероятностей:
, (4.13)
где и- плотности вероятностей случайных величинисоответственно;
случайная величина является непрерывной, если- дискретная случайная величина, а- непрерывная случайная величина, и имеет плотность вероятностей:
, (4.14)
где и,- значения случайной величиныи соответствующие им вероятности, а- плотность вероятностей случайной величины.
Получается данный результат комбинированием дискретного и непрерывного случаев. Вначале находится функция распределения непрерывной случайной величины с учетом независимости случайных величини:
,
а затем дифференцированием пополучаем для плотности вероятностейвыражение (4.14).
Задача определения закона распределения суммы независимых случайных величин по закону распределения слагаемых в теории вероятностей называется задачей композициизаконов распределения, а в функциональном анализе –сверткойфункций. По этой причине формулу (4.13) кратко можно записать в виде(гдеозначает операцию свертки), а интегралы в ней называют интегралами свертки.
Замечание. Все результаты, полученные для двумерного случайного вектора, без труда обобщаются и на многомерный случай.
Пример. Пусть , и случайные величиныинезависимы. Найти плотность вероятностей случайной величины.
Решение. Для простоты положим(общий случай рассмотреть самостоятельно). Тогда, в соответствии с интегралом свертки (4.13), имеем:
(при этом был использован тот факт, что - интеграл Пуассона)
Таким образом, случайная величина .
В общем случае, когда , случайная величина.
По индукции можно доказать, что если случайные величины независимы (в совокупности) и, то их любая линейная комбинация также имеет нормальный закон распределения:.
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\