42. Гистограмма и полигон частот.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Пусть – выборка объемаиз генеральной совокупности, имеющей непрерывное распределение с плотностью вероятности. Способом представления статистических данных, дающее наглядное представление о нtизвестной плотности вероятностиявляется гистограмма. Для ее построения надо предварительно произвести группировку статистических данных, которая состоит в следующем.

1) По заданной выборке строят вариационный ряд

2) Промежуток разбивает точкаминанепересекающихся интервалов,так, что.

3) Подсчитывать частоты каждого интервала, т.е. определяют число выборочных значений, попавших в. Полученную информацию заносят в таблицу:

Интервал
Частота
Относительные частоты

Интервальный статистический ряд.

Совокупность пар , где,называют ЭЗР, полученным по сгруппированным данным. На каждом интервалекак на основании строят прямоугольникс высотой, где,. Получаемая при этом ступенчатая фигура называется гистограммой.

Вероятностный смысл гистограммы

Во-первых отметим, что площадь под гистограммой равна единице. Действительно, ,. Далее,могут изменяться от выборки к выборке, являясь в общем случае с.в. В соответствии с теоремой Бернулли:

:.

Если мало, то

,.

Эта формула и есть вероятностный смысл гистограммы.

Таким образом, вернюю границу гистограммы можно рассматривать как ститистический аналог (оценку) , наблюдаемой с.в.. Построение гистограммы обладает следующим недостатком:

1) происходят потери информации при группировке статистических данных

2) неопределенностью в выборке количества интервалов и их длин. На практике обычно , авыбирают в соответствии с правилом Стургерса:.

Поэтому гистограмма следует использовать только на предварительном этапе анализа данных. При построении гистограммы практически строим кусочно-постоянную аппроксимацию . Еслиявляется гладкой функцией, то и ее более точная аппроксимация является кусочно-линейной. Такую аппроксимацию наызывают полигоном частот. Полигон частот – ломаная с вершинами в точках.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

43. Выборочные (эмпирические) числовые характеристики. Выборочное среднее и выборочная дисперсия.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Пусть – выборка объемаиз генеральной совокупности, имеющей неизвестную. ЧХ с.в.называется теоретическими и в общем случае определяется какпри различном выборе функции. Пусть– ЭФР, соответсвующая выборке. Как отмечалось ранееявляется обычной ФР ДСВ:

где – различные значения среди,– относительная частота.

ЧХ с.в. называется выборочными или эмпирическими ЧХ, т.е. это величины, определяемые формулой:

.

Таким образом, ВЧХ , соответствующая теоретической ЧХесть среднее арифметических значений функциидля элементов. В частности, если, то– выборочный начальный момент-го порядка. При,называется выборочным средним:. Если, то величина– выборочный центральный момент-го порядка. При:– выборочная дисперсия:– (аналог).

Между выборочными начальными и центр моментами существуют те же соотношение, что и с теоретическими:

,

,

,

Замечание. Все ВЧХ, рассчитанные по заданной выборке, являются числами, но они могут изменяться от выборки к выборке и притом случайным образом, чем принципиально и отличаются от теоретических ЧХ. Поэтому при изучении вероятностных свойств ВЧХ их следует рассмотреть на с.в., получаемые заменой– копии. Используемые обозначения:

Имеет смысл говорить ЗР ВЧХ,… Далее получим: .

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\