- •1. Случайный эксперимент. Пространство элементарных событий. Случайные события и операции над ними.
- •2. Классическое определение вероятности (ков). Урновая схема. Пример.
- •3. Геометрическое определение вероятности. Пример.
- •4. Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностное пространство. Свойства вероятности.
- •5. Условная вероятность и ее свойства. Правило и теорема умножения вероятностей.
- •6. Независимость событий. Свойства независимых событий. Независимость в совокупности.
- •7. Формулы полной вероятности и Байеса. Пример.
- •8. Схема независимых испытаний Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов.
- •9. Понятие случайной величины (св). Функция распределения св и ее свойства.
- •10. Дискретные св. Закон распределения (зр) дискретной св.
- •11. Важнейшие дискретные св.
- •12. Непрерывные св. Плотность вероятностей и ее свойства.
- •13. Важнейшие непрерывные св.
- •14. Математическое ожидание дискретных и непрерывных св.
- •15. Основная теорема о мо. Свойства мо.
- •16. Моменты, дисперсия и среднеквадратическое отклонение св. Свойства дисперсии.
- •17. Числовые Характеристики важнейших св.
- •18. Случайные векторы. Функция распределения случайного вектора и ее свойства.
- •19. Дискретные случайные векторы. Закон распределения дискретного случайного вектора.
- •20. Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей случайного вектора и ее свойства.
- •21. Равномерное распределение в области на плоскости. Равномерные распределения в прямоугольнике и в круге.
- •22. Независимость случайных величин. Условия независимости. Независимость в совокупности.
- •23. Условные законы распределения. Условная плотность вероятностей и ее свойства. Условные числовые характеристики.
- •24. Числовые характеристики случайных векторов. Корреляционная матрица и ее свойства. Понятие о моментах случайных векторов.
- •Понятие о моментах
- •25. Теоремы о числовых характеристиках.
- •26. Некоррелированные св. Связь между некоррелированностью и независимостью. Пример.
- •27. Коэффициент корреляции, его свойства и вероятностный смысл.
- •28. Многомерное нормальное распределение и его свойства.
- •29. Функции от св и их законы распределения.
- •Функции случайных аргументов
- •Функции от случайных величин
- •Функции от случайных векторов
- •30. Закон распределения суммы св. Композиция (свертка) законов распределения. Пример.
- •31. Неравенство Чебышева. Виды сходимости последовательностей св и связь между ними.
- •Неравенство Чебышева
- •Виды сходимости последовательностей с.В. И связи между ними.
- •32. Закон больших чисел (збч) для последовательностей св. Теоремы Маркова и Чебышева.
- •33. Збч для последовательностей независимых одинаково распределенных св. Задача об измерениях. Теорема Бернулли и ее применение.
- •34. Характеристическая функция св и ее свойства.
- •Свойства хф.
- •35. Характеристические функции важнейших св. Устойчивость нормального закона распределения.
- •Характеристические функции случайных векторов
- •36. Сходимость распределений (слабая сходимость) и ее связь со сходимостью по вероятности. Теорема непрерывности.
- •37. Центральная предельная теорема (цпт) для независимых одинаково распределенных св. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
- •38. Цпт для независимых разнораспределенных св: теоремы Линдеберга и Ляпунова. Смысл условия Линдеберга. Асимптотическая нормальность.
- •39. Теорема Хинчина. Понятие об усиленном збч.
- •40. Статистическая модель. Генеральная совокупность (гс), выборка, объем выборки. Простейшие способы представления статистических данных.
- •Способы представления статистических данных
- •41. Эмпирическая функция распределения и ее свойства.
- •42. Гистограмма и полигон частот.
- •Интервальный статистический ряд.
- •Вероятностный смысл гистограммы
- •43. Выборочные (эмпирические) числовые характеристики. Выборочное среднее и выборочная дисперсия.
- •44. Точечные оценки неизвестных параметров распределений. Требования, предъявляемые к точечным оценкам.
- •Точечные оценки неизвестных параметров распределения.
- •45. Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии как точечных оценок мо и дисперсии соответственно.
- •46. Метод моментов получения точечных оценок. Свойства оценок, найденных по методу моментов. Пример.
- •Метод моментов.
- •47. Метод максимального правдоподобия. Свойства оценок максимального правдоподобия. Пример.
- •48. Интервальные оценки неизвестных параметров распределений. Доверительные интервалы (ди) для мо нормально распределенной гс (при известной и неизвестной дисперсии).
- •49. Ди для дисперсии нормально распределенной гс (при известном и неизвестном мо).
- •50. Асимптотические ди для мо и дисперсии произвольно распределенной гс.
- •51. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки простой гипотезы о виде распределения.
- •52. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки сложной гипотезы о виде распределения.
- •53. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки гипотезы независимости.
34. Характеристическая функция св и ее свойства.
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Наряду с вещественными СВ приходится рассматривать и комплекснозначные СВ Всякая комплекснозначная с.в.может быть представлена в виде().,– вещественные с.в.,– вещественная, а– мнимая части с.в..
МО комплекснозначной с.в.: .определено когдаопределено определеныи.
Характеристическая функция вещественной с.в. , имеющей ФР, называется комплекснозначная функция, действительного переменного, определяемого:
Вычисляется в соответствии с теоремой о замене переменной по формуле:
– общий случай.
Дискретный случай:
Если – ДСВ,– ее значения,, то.
Непрерывный случай:
Если – НСВ,– ее плотность, то, т.е.– прямая прямое преобразование Фурье от плотности.
Свойства хф.
,
Доказательство:
ХФ существует у любых с.в.
Доказательство:
– неотрицательно определенная функция, т.е.,
Доказательство:
Замечание. На самом деле верно более сильное утверждение, известное как теорема Бохнера-Хинчина:
Для того, чтобы непрерывная функция , удовлетворяющая условиюбыла ХФ, необходимо и достаточно, чтобы она была неотрицательно определенной.
Если ,является абсолютно-интегрируемой, то для ее неотрицательной определенности необходимо и достаточно, чтобы преобразование Фурье:.
является равномерно непрерывной
Доказательство:
Если для можно выбратьтакое, что:, поэтому
.
Во втором интеграле :.
За счет выбора , значит можно сделать
, что и значит равномерную непрерывность функции.
:
Доказательство:
ХФ суммы независимых с.в. равна произведению ХФ слагаемых. Если с.в.– независимые, а, то
Доказательство:
Следует из свойств МО независимых с.в.
Если у с.в.существует момент-го порядка:, то ее ХФявляетсяраз непрерывно дифференцируемой и при этом. В частности,,,
Доказательство:
1) – НСВ:и
Формальное дифференцирование раз подает:
Законность дифференцирования под знаком интеграла следует из того, что
2) – ДСВ:и
Формальное дифференцирование раз подает:
Если существует момент-го порядка у с.в.:, то еев окрестности точкиразлагается в ряд Тейлора вида:
.
Формула обращения.
Если – ФР с.в., а– ее ХФ, то, гдеявляется непрерывной, справедлива формула:
.
Следствие 1:
Если – абсолютно интегрируемая:
, то с.в. – непрерывная и ее– обратное преобразование Фурье от.
,
Доказательство:
Докажем для НСВ: – абсолютный интеграл.
Так как – НСВ:. В силу абсолютной интегрируемостисуществует обратное преобразование Фурье:.
Проинтегрируем обе части по в пределах отдо:
Следствие 2.Абсолютно интегрируемая функция:, удовлетворяющая свойствами, является характеристической тогда и только тогда, когда ее преобразование Фурье всюду неотрицательно:для любого.
▲ В этом случае преобразование Фурье , где- плотность вероятностей некоторой непрерывной случайной величины, являющаяся функцией неотрицательной для любого■.
Замечание.Фактически утверждение следствия 2 позволяет проверять свойство неотрицательной определенности абсолютно интегрируемой функции. Если функция, удовлетворяющая свойствами, абсолютно интегрируемой не является, но допускает представление в виде ряда Фурье, то она является характеристической функцией (и, следовательно, обладает свойством неотрицательной определенности) дискретной случайной величины, принимающей значенияс вероятностями.
Следствие 3(теорема единственности).
Характеристическая функция случайной величиныоднозначно определяет ее функцию распределения.
▲ Следует из формулы обращения и того, что разностипри любыходнозначно определяют функцию распределения■.
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\