37. Центральная предельная теорема (цпт) для независимых одинаково распределенных св. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Пусть –последовательность независимых, одинаково распределенных с.в., имеющих одинаковые МО и дисперсии:,. Тогда приравномерно поили, что эквивалентно функции распределения с.в.слабо сходится к ФР.

,

Говорят, что последовательность с.в.: слабо сходится к стандартному нормальному ЗР. Т.к., а, то утверждение ЦПТ также можно записать в виде

Доказательство:

Обозначим (стандартизированная с.в.).,,.. Т.к., то требуется доказать, что.

Вычислим ХФ с.в. .

.

ХФ можно разложить в ряд Тейлора МО и дисперсию:,.

Подставляя это выражение, взятое в точке в выражение для, получаем:

.

Устремляя и используя замечательный предел, получаем:.

В пределе мы получим ХФ .

По теореме непрерывности можно сделать вывод о слабой сходимости функции распределения

При этом поскольку предельная функция распределения является непрерывной на, то сходимость является равномерной.

Следствие. (интегральная теорема Муавра-Лапласа)

– число успехов внезависимых испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха в отдельно взятьм испытании, т.е..

Тогда при равномерно по

или

В частности, при больших :

Доказательство:

Доказательство первого утверждения слеудет из того, что

,

,

Второе утверждение следует из свойств слабой сходимости.

Если – последовательность независимых разнораспределенных с.в., то для справедливости ЦПТ уже необходимы некоторые ограничения. Наиболее общим результатом является следующая теорема.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

38. Цпт для независимых разнораспределенных св: теоремы Линдеберга и Ляпунова. Смысл условия Линдеберга. Асимптотическая нормальность.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Теорема Линдеберга(ЦПТ для независимых разнораспределенных с.в.)

Пусть – последовательность независимых с.в., имеющих конечное МО и дисперсию:. Обозначим,,– ФР с.в.. Предположим, что выполняется условие Линдеберга:

.

Тогда при равномерно по

Эквивалентные формы записи:

,,

Смысл условия Линдеберга:

Говорят, что с.в. ,равномерно асимптотически малы, если

Поскольку

Из справедливости условия Линдеберга следует и равномерная асимптотическая малость с.в. . Другими словами все слагаемые в центральной и нормальной сумме– должны быть равномерно асимптотически малоы для того, чтобы ЦПТ имела место. Или иначе, влияние каждого слагаемого на его сумму было очень мало.

Таким образом, условие Линдеберга является достаточным для выполнения ЦПТ и условия равномерной асимптотической малости. Оказывается, что при наличии равномерной асимптотической малости с.в. условие Линдеберга являеся и необходимым для выполнения ЦПТ. Существуют и другие достаточные условия для справедливости ЦПТ, они являются более ограниченными, но легче применяются на практике.

Теорема Ляпунова.

Пусть – последовательность независимых с.в., имеющих для некоторогоконечные абсолютные центральные моменты порядка:.

Обозначим ,.,. Тогда, если(условие Ляпунова), то, т.е. справедлива ЦПТ.

При ссылках на ЦПТ удобно использовать понятие асимптотической нормальности.

Опр. Говорят, что с.в.асимптотически нормальная с переменными,,, если ФР с.в.,

В этих терминах предудущие теоремы записываются так:

– теорема 1

– теорема Линдеберга

Прикладное значение ЦПТ заключается в следующем. С.в. можно считать нормальной, если известно, что она является суммой достаточно большого числа независимых с.в., причем тип распределения слагаемых безразличен. Именно этот факт объясняет, что нормальный ЗР наиболее широко распространен.

Проиллюстрируем действие случайных предельных теорем на примере суммы независимых одинаково распрпеделенных с.в., каждая из которых .

Обозначим:

– плотность вероятности,– плотность вероятности,(свертка)

В соответствии с ЦПТ: . Другими словами,.,, следовательно,.

Оказываеся, что уже при точность приближения плотности вероятностейк нормальной плотности вероятности перекрывает все потребности практики. Следовательно, при

Этот факт лежит в основе алгоритма получения значений стандартной нормальной с.в. с помощью значений с.в., имеющей , т.е. с помощью датчика случайных чисел, входящего в математическое обеспечение любой ЭВМ.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\