21. Равномерное распределение в области на плоскости. Равномерные распределения в прямоугольнике и в круге.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

(Равномерное распределение в области).

Говорят, что непрерывный случайный вектор имеет равномерное распределение в области, если его плотность вероятностей постоянна внутри области:

Константа С при этом однозначно определяется из условия нормировки:

, то есть , где- площадь области.

а) Равномерное распределение в прямоугольнике.

Непрерывный случайный вектор имеет равномерное распределение в прямоугольникесо сторонами, параллельными осям координат, если его плотность вероятностей имеет вид:

Найдем одномерные плотности вероятностей координат .

В соответствии со свойством 2f4) двумерной плотности вероятностей имеем ():

.

Таким образом, то есть.

Аналогично, в соответствии с ()

.

Таким образом, то есть.

б) Равномерное распределение в круге.

Непрерывный случайный вектор имеет равномерное распределение в круге, если его плотность вероятностей имеет вид:

Найдем одномерные плотности вероятностей координат .

В соответствии со свойством 2f4) двумерной плотности вероятностей имеем ():

.

Таким образом,

Аналогично, в соответствии с ()

.

Таким образом,

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

22. Независимость случайных величин. Условия независимости. Независимость в совокупности.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Известно, что события АиВявляются независимыми, если. Аналогично определяется и независимость случайных величини, только вместо событийАиВ следует использовать события, связанные с этими случайными величинами.

Определение. Случайные величиныиназываютсянезависимыми, если для любыхимеет место равенство:

или, в терминах функций распределения,

. (3.9)

Таким образом, независимость случайных величин означает, что их совместная функция распределения равна произведению одномерных функций распределенияи.

Установим условия независимости случайных величин в дискретном и непрерывном случаях.

Лемма 1(Условие независимости дискретных случайных величин).

Пусть - дискретный случайный вектор, принимающий значенияс вероятностями,;, - вероятности возможных значений случайной величины,- вероятности возможных значений случайной величины.

Дискретные случайные величины иявляются независимыми тогда и только тогда, когда при всехи

, (3.10) то есть вероятностьфакторизуется.

Лемма 2(Условие независимости непрерывных случайных величин).

Пусть - непрерывный случайный вектор,- его плотность вероятностей,и- одномерные плотности вероятностей его координат, определяемые по формулам (3.8).

Непрерывные случайные величины иявляются независимыми тогда и только тогда, когда

(3.11)

для всех , являющихся точками непрерывности функцийи, то есть двумерная плотность вероятностейфакторизуется.

Понятие независимости случайных величин обобщается на любое конечное число случайных величин следующим образом.

Определение. Случайные величиныназываютсянезависимыми в совокупности, если для любого, для любого набора индексови для любых,

или, в терминах функций распределения, для любой точки

,

где – функция распределения случайной величины. Таким образом, независимость в совокупности случайных величинозначает, что их многомерная функция распределенияфакторизуется.

Для независимости в совокупности непрерывных случайных величин , имеющих плотности вероятностей, необходимо и достаточно, чтобы

,

во всех точках непрерывности функций и.

Из независимости случайных величин в совокупности при следует их попарная независимость. Обратное неверно.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\