3.5. Получение критериев подобия методом преобразований подобия.

Выше мы получили систему дифференциальных уравнений, описывающих явления конвективного теплообмена. Система включала уравнения движения, уравнение энергии и уравнение неразрывности (сплошности). Эти уравнения называют уравнениями связи. Они показывают, что основными физическими величинами, влияющими на процесс теплоотдачи, являются теплопроводность (λ), теплоемкость (с_р), плотность (ρ), вязкость (μ), время (τ) и скорость (w_x,w_y,w_z). Причем влияние температуры проявляется через физические параметры среды (λ, μ, ρ и с_р) .

Для получения понятия подобия процессов конвективного теплообмена рассмотрим эти уравнения с учетом масштабирования влияющих параметров процесса. Обозначим параметры одного процесса без верхнего индекса, а другого с верхним индексом.

Тогда константа геометрического подобия предстанет в виде С_ℓ= х^//х = у^//у, константа по скорости С_u = u^//u = w^//w, а по физическим параметрам получим аналогичные константы с соответствующими индексами- С_ρ, С_μ,С_λ, С_α, С_Т и т.д_.

Дифференциальные уравнения запишутся:

- движения (для оси х)

(3.12)

аналогично для других осей;

- энергии

(3.13)

- неразрывности

(3.14)

- конвективного теплообмена

(3.15)

Сравнивая последовательно коэффициенты масштаба в каждом из уравнений связи и учитывая, что в подобных явлениях градиенты физических величин равны, можно получить безразмерные комплексы:

- из уравнения (3.13) и сокращая на С_Т, получим

Заменив константы подобия на соответствующие физические величины, получим безразмерный инвариант подобия

Данный инвариант назвали критерием Нуссельта:

Из уравнения энергии (3.11) получаем тройное равенство

Сравнивая их попарно и приводя к единице, получим

;

Заменяя константы подобия на их физические аналоги, имеем еще два инварианта подобия – комплексы

;

Первый из них назвали именем Фурье : , а второй

критерием Пекле

Из уравнения движения (3.10) получим пять равенств

Сравнивая их попарно и приравнивая единице, получим четыре критерия подобия. Комбинации параметров при этом могут быть различными. Общепринятыми являются следующие комбинации:

- критерий Струхаля ;

- критерий Фруда ;

- критерий Эйлера ;

- критерий Рейнольдса

Уравнение движения составлено для случая вынужденной конвекции, обусловленной наличием перепада давлений.

Для случая естественной конвекции рассмотрим уравнение движения. Для стационарного случая объемные силы, вызывающие движение масс среды, обусловлены разностью плотности нагретых и холодных частиц среды – произведения g (ρ₀ – ρ), где ρ₀ и ρ плотности холодных и горячих частиц. Подъемная сила может быть выражена через коэффициент объемного расширения β. Плотность холодных частиц ρ₀ = ρ (1+β∆Т), т.е. ρ₀ –ρ= ρβ∆Т, а подъемная сила, отнесенная к единице объема, определится gρβ∆Т.

Уравнение свободной конвекции для стационарного процесса (dТ/dτ =0, ∂w_х/∂τ = ∂w_у/∂τ =0) запишется:

;

(3.16)

Из данной системы можно получить методом преобразования подобия следующие равенства:

Сравнивая попарно полученные комплексы и приводя их к единице, после замены констант на физические величины получим два критерия подобия:

Re= wℓρ/μ

и еще один комплекс

Учитывая, что в условиях свободной конвекции та скорость, которая входила в понятие критерия Рейнольдса и которая определялась перепадом давления, отсутствует, то разделим комплекс π на критерий Рейнольдса и получим критерий для свободной конвекции. Его назвали по имени ученого Грасгофа:

- критерий Фруда

Fr =

Число возможных критериев подобия практически не имеет ограничений и зависит только от постановки задачи. Как было показано выше, для удобства создаются комбинации критериев подобия, которые становятся для каких-то задач самостоятельными, более простыми для использования, критериями подобия. Кстати, мы мимоходом разделили один критерий на другой. Интересно то, что это тоже допустимый способ получения дополнительного критерия подобия. Его применяют тогда, когда один из критериев (физически участвующий в рассматриваемом процессе) в силу своей малой величины вносит незначительный вклад в картину процесса и может быть исключен из числа определяющих факторов.

Для понимания этого целесообразно рассмотреть физическую суть критериев подобия.