6.4. Лучистый теплообмен между двумя параллельными пластинами.

При исследовании лучистого теплообмена между твердыми телами пользуются двумя методами: м е т о д о м м н о г о к р а т н ы х о т р а ж е н и й и так называемым м е т о - д о м с а л ь д о.

Рис.6.10. Теплообмен между двумя

серыми поверхностями.

Преимущество первого метода в том, что он наглядно демонстрирует механизм протекания лучистого теплообмена между двумя телами. Но у этого метода довольно громоздкие математические выкладки. Метод сальдо базируется на использовании плотности эффективного или полного потока излучения Е_эф и позволяет рассчитывать лучистый теплообмен между любыми произвольными твердыми телами по достаточно простым соотношениям. Этот метод применим к серым телам, т.е. таким телам, у которых степень черноты и поглощательные способности не зависят от температуры и длины волны. Для них же справедлив закон Ламберта равенства излучения по всем направлениям.

Рассмотрим две параллельные серые пластины (рис. 52) бесконечной протяженности, имеющие разную температуру и разделенные непоглощающей средой. Первая пластина с температурой Т₁ обладает собственной плотностью потока излучения Е₁ и поглощательной способностью А₁. Вторая пластина с температурой Т₂ характеризуется собственной плотностью излучения Е₂ и поглощательной способностью А₂. Примем, что Т₁>Т₂. Тогда пластины будут обмениваться лучистой энергией, в результате чего между ними установится стационарный тепловой поток, направленный от более горячей поверхности 1 к более холодной 2:

(6.25)

где Е_1эф – полная плотность потока излучения 1-го тела,Вт/м²;

Е_2эф – полная плотность потока излучения 2-го тела, Вт/м².

По зависимости (124):

Е_1эф = Е₁ + (1- А₁)Е_2эф; (6.26)

Е_2эф = Е₂ + (1- А₂)Е_1эф (6.27)

Решив систему уравнений (6.26) и (6.27) относительно Е_1эф и Е_2эф, получим:

; (6.28)

. (6.29)

Подставив выражения Е_1эф и Е_2эф из (6.28) и (.6.29) в равенство (6.25), найдем величину лучистого теплового потока (в Вт/м²) :

. (6.30)

Но согласно закону Стефана – Больцмана (6.19)

и (6.31)

Подставляя выражения Е₁ и Е₂ из системы (6.31) в равенство (6.30) и учитывая, что ε₁=А₁ и ε₂ = А₂ после преобразований получим окончательные формулы для расчета лучистого теплообмена системы двух серых параллельных поверхностей бесконечной протяженности:

(6.32)

или

(6.33)

где ε_пр – приведенная степень черноты системы тел 1 и 2

(6.34)

6.5. Влияние экрана на лучистый теплообмен.

Лучистый теплообмен от одного тела к другому может быть значительно уменьшен, если между ними поместить непрозрачный экран. Рассмотрим для простоты две параллельные бесконечно протяженные стенки (рис. 6.11) с одинаковым коэффициентом черноты ε₁ = ε₂ =ε . Если принять, что температура первой стенки больше температуры второй стенки, то результирующий лучистый тепловой поток между ними равен

q₁₂ = ε_пр·₀ ,

где

.

Поместим между этими стенками тонкий непрозрачный экран, выполненный из того же материала, что и обе стенки. Тогда коэффициент черноты экрана ε_э равен ε₁ и ε_2.

Рис. 6.11. К расчету лучистого теплообмена

при наличии экрана

Рассмотрим лучистый теплообмен в таких условиях. Пусть экран сделан из материала с высокой теплопроводностью, а его толщина достаточно мала, то можно считать, что на обеих поверхностях экрана установится одинаковая температура Т_э. В этом случае лучистый тепловой поток от стенки 1 к экрану равен:

.

а от экрана к стенке 2

Так как режим лучистого теплообмена стационарный, то должно выполняться условие:

q_1э = q_э2 = q^/₁₂ (6.35)

Здесь q^/₁₂ – лучистый тепловой поток от стенки 1 к стенке 2 при наличии экрана. Отсюда:

(6.36)

Сложив уравнения системы (6.36), получим выражение для теплового потока с учетом экрана:

(6.37)

или

Таким образом, установка между двумя стенками экрана из того же материала уменьшает лучистый тепловой поток в два раза. Легко показать, что при установке между стенками n экранов из того же материала величина лучистого потока между ними уменьшится в n+1 раз.

Для наиболее общего случая, когда степени черноты стенок ε₁ и ε₂ и всех n экранов (ε_эi) различны, имеется следующее соотношение 5:

(6.38)

где ε_пр – приведенная степень черноты системы без экрана. При n =1 и степени черноты ε₁= ε₂ = ε_э из соотношения (6.38) получается результат, полученный ранее (6.37). При n = 1 и ε₁ = ε₂ = 0,8 и ε_э = 0,1, то , т.е. тепловой поток снижается в 13,7 раза, а если число экранов 5, то поток снизится уже в 64 раза.

Литература.

1. Авдуевский В.С., Галицейский Б.М., Глебов Г.А., Данилов Ю.И., Калинин Э.К., Кошкин В.К., Кошмаров Ю.А., Михайлова Т.В., Михеев Ю.С., Рыжов Ю.А., Солнцев В.П. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике. Москва, «Машиностроение», 1975 год, стр.623.

2. Гребер Г., Эрк С., Григулль У. Основы учения о теплообмене. Москва, Изд-во иностр. Лит., 1958 год, 556 стр.

3. Григорьев В.А., Зорин В.М. Тепло и массообмен. Теплотехнический эксперимент. Справочная серия, т.2.Москва, «Энергоиздат», 1982 год, стр. 512.

4. В.С. Жуковский. Основы теории теплопередачи., Ленинград, «Энергия»,1969 год, 224 стр.

5. Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел А.С. Теплопередача. Москва, «Энергия», 1979 год,424 стр

6. А.В. Лыков Тепломассообмен. Справочник, Москва, «Энергия», 1972 г. , 560 стр.

7. Михеев М.А., Михеева И.М. Основы теплопередачи. Москва, «Энергия», 1973 год,319 стр.

8. Пехович А.И., Жидких В.М. Расчеты режима твердых тел. Ленинград, «Энергия», 1976 год, 351 стр.

9. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. М.;ГИФМЛ, 1963 г

10. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкостей. М., Энергоатомиздат, 1984 г. 154 стр

11. Патанкар С. Численное решение задач теплопроводности и конвективного теплообмена при течении в каналах. М., МЭИ 2003 г., 314 стр

12. Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков. М., Мир, 190 г., 665 стр.

ПРИЛОЖЕНИЕ

В [Лыков] приведено решение задачи для случаев периодического и апериодического нестационарного температурного поля в телах классической формы : пластина, шар, цилиндр. Под периодическим изменением понимают случай, когда граничные условия меняются во времени по определенному циклическому закону. Под апериодическим понимается случай разового изменения граничных условий теплообмена на границе твердого тела или внутри него (при наличии внутренних источников тепловыделения).

Дифференциальное уравнение теплопроводности для рассматриваемого случая записывают в виде:

(4.12)

Здесь Г- постоянное число: для пластины Г =0 (х≡х), для цилиндра Г= 1 (х ≡ r) и для шара Г=2 (х≡r).

Источник тепла в общем случае является функцией температуры. Для некоторых частных случаев ее можно записать в виде :

где b – некоторый коэффициент, зависящий от времени; Т₀ – температура тела в начальный момент времени, причем Т(х,0) = Т₀. Решения приводятся для симметричных задач, когда температура симметрична относительно оси симметрии и условия:

Средняя объемная температура , необходимая для расчета расхода тепла, определяется формулой:

Введем следующие обозначения:

; ; ; ;

где Fo – число Фурье, Ро – число (критерий) Померанцева.

Тогда дифференциальное уравнение примет вид:

(4.13)