3.4.Основы теории подобия конвективного теплообмена
Изучение процессов теплообмена показало возможность обобщения результатов экспериментальных исследований. Основой такого обобщения является теория подобия. Впервые с понятием подобия мы сталкивались в школе на уроках геометрии. Имелись условия подобия. Подобные треугольники имеют равные углы и отношения длин сторон имеют равное значение.
Подобие тепловых процессов включает одним из обязательных условий геометрическое подобие:
, (3.10)
где
-линейные размеры одной фигуры;
- линейные размеры другой, подобной
первой, фигуры;
сℓ - коэффициент пропорциональности или константа геометрического подобия.
Условие (3.10) является математической формулировкой геометрического подобия.
Понятие подобия физических явлений предполагает подобие картин течений –кинематическое подобие, подобие силовой картины – динамическое подобие, подобие картин тепловых потоков и температурных полей – тепловое подобие и т.д.
В общем случае понятие подобия физических явлений сводится к следующим положениям:
1. Понятие подобия в отношении физических явлений применяется только к явлениям одного и того же рода, которые качественно одинаковы и описываются одними уравнениями, как по форме, так и по содержанию.
Если же математическое описание двух каких-либо явлений совпадает, а физическая природа их различна, то такие явления называют аналогичными. Подобная аналогия наблюдается в процессах теплопроводности, электропроводности, диффузии и др.
2. Обязательной предпосылкой подобия физических явлений является геометрическое подобие. Последнее означает, что подобные явления всегда протекают в геометрически подобных системах.
3. При анализе подобных явлений сопоставлять между собой можно только однородные величины и лишь в сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени.
Однородными называются такие величины, которые имеют один и тот же физический смысл и одинаковую размерность. Сходственными точками геометрически подобных систем называются такие, которые соответствуют условию (3.10):
x//=cℓ x/, y //=cℓ y /, z //=cℓ z / .
Два промежутка времени τ/ и τ// называются сходственными, если они имеют общее начало отсчета и связаны преобразованием подобия, т.е. τ//=сτ τ/ .
4. Наконец, подобие двух физических явлений означает подобие всех величин, характеризующих рассматриваемые явления. Это означает, что в сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени любая величина φ/ первого явления пропорциональна однородной с ней величине φ// второго явления, так что
φ// = сφ φ/ . (3.11)
Коэффициент пропорциональности сφ называют постоянной подобия (константой) или множителем подобного преобразования величины φ. Ни от координат, ни от времени сφ не зависит. Причем каждая из констант подобия относится только к своей физической величине и к конкретной точке пространства.
Таким образом, подобие двух явлений заключается в подобии одноименных полей физических величин, определяющих эти явления. Подобие двух рассматриваемых явлений заключается в подобии всех участвующих величин во всем объеме рассматриваемых систем. Полный перечень всех величин, характеризующих рассматриваемые явления, может быть установлен только при наличии математического описания явлений.
Постоянные подобия для различных величин в подобных явлениях нельзя назначать или выбирать произвольно. Между ними существуют строго определенные соотношения, которые выводятся из анализа математического описания процессов. Эти соотношения имеют центральное значение в теории подобия, так как они устанавливают существование особых величин, называемых инвариантами или критериями подобия, которые для всех подобных между собой явлений сохраняют одно и то же числовое значение. Критерии подобия являются безразмерными комплексами, составленными из физических величин, характеризующих процесс. Нулевая размерность является их характерным свойством. Критерии подобия принято называть именами ученых, работавших в соответствующих разделах науки и обозначать двумя начальными буквами их фамилий, например: Re (Reynolds), Eu (Euler), Nu(Nusselt) и т.д.
Критерии подобия можно получить для любого физического явления при условии наличия его математической модели. Данное условие является необходимой предпосылкой выявления критериального описания процесса.
Для получения критериев подобия из дифференциальных уравнений существует несколько методов; к ним относятся:
- метод преобразования подобия;
- метод приведения уравнений к безразмерному виду;
- метод интегральных аналогов.
При отсутствии математического описания, но при наличии твердо установленного перечня физических величин, определяющих рассматриваемое явление, вид критериев подобия и необходимое число определяют методами анализа размерностей.
Основные положения теории подобия формулируются в виде трех теорем.
Первая теорема подобия устанавливает связь между постоянными подобия и формулируется следующим образом: подобные между собой процессы имеют одинаковые критерии подобия.
Критерии подобия, составленные из физических величин, входящих в условия однозначности, называют определяющими. Критерии, в которые входят искомые величины (таковыми могут стать коэффициент теплоотдачи или напряжения трения, геометрические характеристики пограничных слоев и т.д.), называют определяемыми. Деление на определяющие и определяемые весьма условно и зависит от постановки задачи исследования.
Вторая теорема подобия устанавливает, что зависимость между переменными, определяющими процесс, может быть записана в виде зависимости между набором критериев подобия . Функциональную зависимость определяемого критерия от других критериев, характеризующих рассматриваемое явление, называют критериальным уравнением
Третья теорема устанавливает, какие условия необходимы и достаточны, чтобы процессы были подобны и формулируется так: подобны те процессы, условия однозначности которых подобны и критерии, составленные из величин, входящих в условие однозначности имеют одинаковые численные значения.
Итак, теория подобия позволяет, не интегрируя дифференциальных уравнений, получить из них критерии подобия и, используя опытные данные, установить критериальные зависимости, справедливые для всех подобных между собой явлений.
Надо только иметь в виду тот факт, что теория подобия имеет ограничения и используется только для интерпретации в обобщенном виде экспериментальных результатов.