3.3.2. Уравнение движения.

В уравнении (3.5) кроме температуры входят составляющие скорости , что свидетельствует о зависимости температур от распределения скоростей в потоке. Воспользуемся вторым законом динамики Ньютона, согласно которому сила определяется произведением массы на ускорение и рассмотрим в движущемся потоке элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy и dz..

Рис.3.6. К выводу дифференциального уравнения движения жидкости.

На выделенный объем жидкости действуют три силы: тяжести, давления и трения. С учетом рис.3.6, определим проекции этих сил на координатные оси :

- сила тяжести приложена в центре элемента объемом . Ее проекция на ось х равна произведению массы элемента ρdv на ускорение свободного падения g_х :

(а)

- сила давления определится из следующих рассуждений. На верхнюю грань площадью от давления жидкости р действует сила . На нижнюю грань действует давление , а сила . Знак – указывает на то, что эта сила действует против направления оси х. Равнодействующая этих сил равна их алгебраической сумме:

(б)

- сила трения возникает из-за сил вязкости. Условно примем, что имеет место случай ламинарного движения в направлении оси х.

Скорость изменяется только в направлении оси y, а сила трения возникает на боковых гранях выделенного элемента (рис. 3.7). Около левой грани скорость движения частиц меньше, чем в самом элементе и сила трения направлена против движения и равна:. Около правой грани элемента, наоборот, скорость движения частиц больше, чем в самом элементе, поэтому в сечении сила трения направлена в сторону движения и равна:

Рис.3.7. Сила трения, действующая на элемент движущейся жидкости.

Равнодействующая этих сил равна их алгебраической сумме:

, где

S – сила трения на единицу поверхности. Согласно закону Ньютона и

Если же учесть, что скорость меняется по всем трем направлениям, проекция силы трения на ось определится следующим выражением:

(в)

Суммируя теперь выражения (а), (б) и (в), получаем проекцию на ось равнодействующей всех сил, приложенных к объему :

(г)

Согласно второму закону механики Ньютона равнодействующая сил равна произведению массы элемента на ускорение :

(д)

Приравнивая равенства (г) и (д) друг другу и сокращая на , окончательно имеем:

(3.7)

Все члены этого уравнения имеют размерность силы, отнесенной к единице объема (Н/м³).

Аналогично записываются уравнения для проекций равнодействующей сил на оси и:

(3.7а)

(3.7б)

Такая система (3.7) – (3.7б) есть система дифференциальных уравнений движения несжимаемой вязкой жидкости – уравнение Навье-Стокса. Оно справедливо как для ламинарного, так и турбулентного движения.

3.3.3 Уравнение неразрывности (сплошности).

Система уравнений (зависимости (3.4) и (3.7)) незамкнута, т.к. число неизвестных больше числа уравнений. Для того, чтобы система дифференциальных уравнений была замкнутой, вводят еще одну зависимость – уравнение неразрывности. Уравнение неразрывности представляет собой математическую формулировку закона сохранения массы.

Выделим в потоке движущейся жидкости элементарный параллелограмм со сторонами и определим массу жидкости, протекающей через него за время .

Рис. .3.8. К выводу дифференциального уравнения сплошности.

В направлении оси через грань ABCD втекает масса жидкости , равная:

Через противоположную грань EFGH вытекает масса :

Вычитая второе равенство из первого, получаем излишек массы жидкости, вытекающей из объема в направлении оси :

-

Аналогичным образом для направлений по осям запишем:

Полный избыток массы вытекающей жидкости равен алгебраической сумме этих выражений:

Избыток обусловлен уменьшением плотности жидкости в объеме и равен изменению массы выделенного объема во времени:

Произведя сокращение и перенося все члены в левую часть равенства, получим:

(3.8)

Это и есть дифференциальное уравнение сплошности или неразрывности в общем виде. Для несжимаемых жидкостей плотность постоянна и уравнение (3.8) имеет вид:

(3.9)