3.3. Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена.

Процесс конвективного обмена тепла обусловлен явлениями в потоке жидкости (газа) и процессами теплопроводности в твердом теле. Рассмотрим процессы конвективного теплообмена в дифференциальном виде. Подобное рассмотрение процессов обладает общностью понимания картины явлений и будет нами использовано при изучении гидромеханического и теплового подобия явлений. Математический аппарат описания гидродинамических и тепловых явлений оказывается подобным описанию процессов диффузии, распространения потоков электричества и электромагнитных волн. Это позволяет нам дополнительно говорить об аналогии явлений и позволяет изучать аналогичные процессы на их, более доступных для измерений аналогах – гидравлических, тепловых и электрических.

Изучение физических явлений учеными имеет целью получение его математического описания. Математики применяют по возможности единый аппарат описания явлений. Это мы сможем увидеть при описании процессов конвективного теплообмена. Описание процессов конвективного теплообмена связано с существенной неравномерностью параметров среды, из зависимостью от геометрического расположения и зависимостью от времени. Кроме того, свойства среды и твердого тела в существенной степени меняются от уровня температуры, что тоже усложняет картину процессов. Для описания сложных явлений применяют известны физические закономерности в выделенных малых пространствах, в которых можно говорить о каком-то осредненном значении параметров потока жидкости и тела и рассматривать дифференциалы изменения этих параметров и свойств. Такой подход позволяет получать дифференциальные уравнения описания рассматриваемых физических явлений. После интегрирования можно получить аналитическую зависимость для всех величин, участвующих в рассматриваемом явлении. Теплоотдача при конвекции учитывает гидравлические и тепловые свойства участвующих сред и тел. Получается система дифференциальных уравнений: - теплопроводности;

- движения;

- сплошности.

Рассмотрим данную систему дифференциальных уравнений.

3.3.1 Уравнение теплопроводности. В основу описания заложен закон сохранения энергии.

Рис. 3.5. К выводу дифференциального уравнения теплопроводности

Распишем уравнение теплового баланса для выделенного элементарного объема тела с размерами граней , считая физические параметры и постоянными. Согласно закону Фурье количество тепла, прошедшего через грань ABCD (рис.3.5) , равно:

,

а через грань EFGH, имеющую температуру , за то же время равно

.

После вычитания из верхнего равенства нижнего получим:

.

Аналогично для направлений по осям y и z имеем:

Общее количество тепла, оставшееся в элементе объема с размерами за время , равно сумме определенных выше количеств тепла:

(^,)

Из-за притока такого количества тепла температура элемента объема изменится на величину , а энтальпия – на величину

(^,,)

Значок ^* означает, что здесь имеет место понятие субстанциональной производной, т.е. рассматриваются изменения в движущемся объеме материи (субстанции). Для такого типа явлений с помощью понятия о полной производной имеет место зависимость:

, в которой производные имеют смысл компонентов скоростей . Дополнительно, представляет собой локальное, а конвективное изменение величины .

Левые части выражений (^,) и (^,,) равны, поэтому можно приравнять и правые их части:

После сокращения на и переноса в правую часть , получим:

(3.4)

Уравнение (3.4) называют дифференциальным уравнением теплопроводности Фурье – Кирхгофа. Оно устанавливает связь между временными и пространственными изменениями температуры в любой точке движущейся среды. Здесь а – коэффициент температуропроводности и - оператор Лапласа.

Применяя, как указано выше, понятие субстанциональной производной, для изменения температур можно записать:

Подставляем эту зависимость в (3.4) и получаем:

(3.5)

В таком виде уравнение применяют при изучении процесса теплопроводности в движущихся жидкостях.

Применительно к твердым телам уравнение (3.5) принимает вид:

(3.6)